関数 $f(x)$ が与えられています。 $ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases} $ このとき、$f'(0)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

このとき、$f'(0)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f'(0)$ を定義に従って計算します。定義は以下の通りです。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

$f(0) = 0$ なので、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$

$h \neq 0$ のとき、$f(h) = h^2 \sin(\frac{1}{h})$ なので、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(\frac{1}{h})}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h})$

ここで、$|\sin(\frac{1}{h})| \leq 1$ なので、

$-|h| \leq h \sin(\frac{1}{h}) \leq |h|$

$\lim_{h \to 0} -|h| = 0$ かつ $\lim_{h \to 0} |h| = 0$ であるから、はさみうちの原理より

$\lim_{h \to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$

したがって、$f'(0) = 0$

3. 最終的な答え

$f'(0) = 0$