関数 $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$ （$0 \le x \le 2\pi$）の極値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$ （$0 \le x \le 2\pi$）の極値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。

$$f'(x) = -2\sin x - 2\cos 2x$$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$$-2\sin x - 2\cos 2x = 0$$

$$\sin x + \cos 2x = 0$$

$$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 0$$

$$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$$

$$(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$$

よって、$\sin x = 1$ または $\sin x = -\frac{1}{2}$ となる。

$\sin x = 1$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}$。

$\sin x = -\frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{7\pi}{6}$ または $x = \frac{11\pi}{6}$。

次に、増減表を作成する。

$x = 0, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, 2\pi$ における $f(x)$ と $f'(x)$ の符号を調べる。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\pi) = 0$

$x = \frac{7\pi}{6}$ のとき、$f(\frac{7\pi}{6}) = 2\cos(\frac{7\pi}{6}) - \sin(\frac{7\pi}{3}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{11\pi}{6}$ のとき、$f(\frac{11\pi}{6}) = 2\cos(\frac{11\pi}{6}) - \sin(\frac{11\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$f(0)=2\cos(0)-\sin(0)=2$,

$f(2\pi)=2\cos(2\pi)-\sin(4\pi)=2$.

増減表は以下のようになる。

| $x$ | 0 | ... | $\frac{\pi}{2}$ | ... | $\frac{7\pi}{6}$ | ... | $\frac{11\pi}{6}$ | ... | $2\pi$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| $f'(x)$ | | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | |

| $f(x)$ | 2 | $\nearrow$ | 0 | $\searrow$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\nearrow$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\searrow$ | 2 |

したがって、

$x = \frac{\pi}{2}$ で極大値 0

$x = \frac{7\pi}{6}$ で極小値 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{11\pi}{6}$ で極大値 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

極大値: $x = \frac{\pi}{2}$ のとき $0$, $x = \frac{11\pi}{6}$ のとき $\frac{\sqrt{3}}{2}$

極小値: $x = \frac{7\pi}{6}$ のとき $-\frac{\sqrt{3}}{2}$