与えられた5つの関数、(1) $\cos(2x)$, (2) $\cos^2(x)$, (3) $\sinh(x)$, (4) $\frac{1}{1-4x}$, (5) $\log(1-2x)$ をそれぞれ考える問題です。具体的な問題内容が書かれていませんが、ここではマクローリン展開を求める問題として解釈します。

1. 問題の内容

与えられた5つの関数、(1) $\cos(2x)$, (2) $\cos^2(x)$, (3) $\sinh(x)$, (4) $\frac{1}{1-4x}$, (5) $\log(1-2x)$ をそれぞれ考える問題です。具体的な問題内容が書かれていませんが、ここではマクローリン展開を求める問題として解釈します。

2. 解き方の手順

(1) $\cos(2x)$ のマクローリン展開：

$\cos(x)$ のマクローリン展開は $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$ です。

したがって、$\cos(2x)$ のマクローリン展開は $x$ を $2x$ に置き換えて、

$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \cdots = 1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} - \frac{64x^6}{720} + \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{45}x^6 + \cdots$

(2) $\cos^2(x)$ のマクローリン展開：

$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ であるから、(1)の結果を用いて、

$\cos^2(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{45}x^6 + \cdots) = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{45}x^6 + \cdots$

(3) $\sinh(x)$ のマクローリン展開：

$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ であり、$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ です。

したがって、$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots$ となるので、

$\sinh(x) = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots)}{2} = \frac{2x + 2\frac{x^3}{3!} + 2\frac{x^5}{5!} + \cdots}{2} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots$

(4) $\frac{1}{1-4x}$ のマクローリン展開：

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ であるから、$x$ を $4x$ に置き換えて、

$\frac{1}{1-4x} = 1 + 4x + (4x)^2 + (4x)^3 + \cdots = 1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \cdots$

(5) $\log(1-2x)$ のマクローリン展開：

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$ であるから、$x$ を $-2x$ に置き換えて、

$\log(1-2x) = -2x - \frac{(-2x)^2}{2} + \frac{(-2x)^3}{3} - \frac{(-2x)^4}{4} + \cdots = -2x - \frac{4x^2}{2} - \frac{8x^3}{3} - \frac{16x^4}{4} + \cdots = -2x - 2x^2 - \frac{8}{3}x^3 - 4x^4 + \cdots$

3. 最終的な答え

(1) $\cos(2x) = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{45}x^6 + \cdots$

(2) $\cos^2(x) = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{45}x^6 + \cdots$

(3) $\sinh(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots$

(4) $\frac{1}{1-4x} = 1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \cdots$

(5) $\log(1-2x) = -2x - 2x^2 - \frac{8}{3}x^3 - 4x^4 + \cdots$