与えられた12個の不定積分をそれぞれ求めます。

はい、承知いたしました。画像に写っている不定積分を求める問題について、順番に解説します。

1. 問題の内容

与えられた12個の不定積分をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$

まず、$e^x$をかけて分母分子を整理します。

$\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx$

ここで、$u = e^x$と置換すると、$du = e^x dx$となります。

$\int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(u) + C$

元の変数に戻すと、

$\arctan(e^x) + C$

(2) $\int \frac{dx}{x \log x}$

$u = \log x$と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$となります。

$\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$

元の変数に戻すと、

$\log |\log x| + C$

(3) $\int \frac{dx}{\sqrt{1+3x}}$

$u = 1 + 3x$と置換すると、$du = 3 dx$となります。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{3} \cdot 2u^{1/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt{u} + C$

元の変数に戻すと、

$\frac{2}{3} \sqrt{1+3x} + C$

(4) $\int x \sqrt{1-x^2} dx$

$u = 1 - x^2$と置換すると、$du = -2x dx$となります。

$-\frac{1}{2} \int \sqrt{u} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = -\frac{1}{3}u^{3/2} + C$

元の変数に戻すと、

$-\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2} + C$

(5) $\int \frac{x}{(1+x^2)^3} dx$

$u = 1+x^2$と置換すると、$du = 2x dx$となります。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^3} du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4u^2} + C$

元の変数に戻すと、

$-\frac{1}{4(1+x^2)^2} + C$

(6) $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}$

分母を平方完成させます。

$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1$

$u = x+1$と置換すると、$du = dx$となります。

$\int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(u) + C$

元の変数に戻すと、

$\arctan(x+1) + C$

(7) $\int \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx$

$u = \cos x$と置換すると、$du = -\sin x dx$となります。

$-\int \frac{1}{u^3} du = -\int u^{-3} du = -\frac{u^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2u^2} + C$

元の変数に戻すと、

$\frac{1}{2\cos^2 x} + C$

(8) $\int \sin^{-1} x dx$

部分積分を行います。$u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$となります。

$\int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$w = 1-x^2$と置換すると、$dw = -2x dx$となります。

$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{w}} dw = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{w} = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

したがって、

$x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

(9) $\int x^2 e^{3x} dx$

部分積分を2回行います。

1回目: $u = x^2$, $dv = e^{3x} dx$とすると、$du = 2x dx$, $v = \frac{1}{3}e^{3x}$となります。

$\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \int \frac{2}{3}xe^{3x} dx$

2回目: $u = x$, $dv = e^{3x} dx$とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{3}e^{3x}$となります。

$\int xe^{3x} dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$

したがって、

$\frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{2}{3}(\frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}) + C = \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{2}{9}xe^{3x} + \frac{2}{27}e^{3x} + C = e^{3x}(\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}x + \frac{2}{27}) + C$

(10) $\int x \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$となります。

$\int x \log x dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C$

(11) $\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$

$x = a \sin \theta$と置換すると、$dx = a \cos \theta d\theta$となります。

$\int \frac{a^2 \sin^2 \theta}{\sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta}} a \cos \theta d\theta = \int \frac{a^2 \sin^2 \theta}{a \cos \theta} a \cos \theta d\theta = a^2 \int \sin^2 \theta d\theta$

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$なので、

$a^2 \int \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{a^2}{2} \int (1 - \cos 2\theta) d\theta = \frac{a^2}{2}(\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta) + C = \frac{a^2}{2}(\theta - \sin \theta \cos \theta) + C$

$\theta = \sin^{-1}(\frac{x}{a})$より、$\sin \theta = \frac{x}{a}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$なので、

$\frac{a^2}{2} (\sin^{-1}(\frac{x}{a}) - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{a^2}) + C$

(12) $\int \frac{x}{\sqrt{1 - (x+2)^2}} dx$

$u = x+2$と置換すると、$du = dx$となり、$x = u-2$となります。

$\int \frac{u-2}{\sqrt{1 - u^2}} du = \int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}} du - 2 \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du$

$\int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}} du$に対して、$w = 1-u^2$と置換すると、$dw = -2u du$となります。

$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{w}} dw = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{w} + C = -\sqrt{1-u^2} + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \sin^{-1} u + C$

したがって、

$-\sqrt{1-u^2} - 2 \sin^{-1} u + C = -\sqrt{1 - (x+2)^2} - 2 \sin^{-1} (x+2) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\arctan(e^x) + C$

(2) $\log |\log x| + C$

(3) $\frac{2}{3} \sqrt{1+3x} + C$

(4) $-\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2} + C$

(5) $-\frac{1}{4(1+x^2)^2} + C$

(6) $\arctan(x+1) + C$

(7) $\frac{1}{2\cos^2 x} + C$

(8) $x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

(9) $e^{3x}(\frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{9}x + \frac{2}{27}) + C$

(10) $\frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C$

(11) $\frac{a^2}{2} (\sin^{-1}(\frac{x}{a}) - \frac{x \sqrt{a^2 - x^2}}{a^2}) + C$

(12) $-\sqrt{1 - (x+2)^2} - 2 \sin^{-1} (x+2) + C$