次の3つの関数の導関数を求める問題です。 (1) $y = \frac{x}{\log x}$ (2) $y = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$ (3) $y = \log(1+\tanh x)$

1. 問題の内容

次の3つの関数の導関数を求める問題です。

(1) $y = \frac{x}{\log x}$

(2) $y = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

(3) $y = \log(1+\tanh x)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x}{\log x}$ の導関数を求めます。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x$, $v = \log x$ とすると、

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot \log x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $y = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$ の導関数を求めます。合成関数の微分公式を用います。まず、$\arctan u$ の導関数は $\frac{1}{1+u^2}$ であることを利用します。

$u = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = \frac{\sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+ \frac{x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1+x^2}{1+x^2+x^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1+x^2}{(1+2x^2)(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+2x^2)\sqrt{1+x^2}}$

(3) $y = \log(1+\tanh x)$ の導関数を求めます。合成関数の微分公式を用います。$\log u$ の導関数は $\frac{1}{u}$ であり、$\tanh x$ の導関数は $\frac{1}{\cosh^2 x}$ または $1 - \tanh^2 x$ であることを利用します。

$u = 1 + \tanh x$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cosh^2 x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+\tanh x} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{1+\frac{\sinh x}{\cosh x}} \cdot \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x + \sinh x} \cdot \frac{1}{\cosh x} = \frac{1}{\cosh x (\cosh x + \sinh x)}$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ より、

$\cosh x + \sinh x = e^x$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{e^x(e^x + e^{-x})} = \frac{2}{e^{2x} + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(1+2x^2)\sqrt{1+x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{e^{2x} + 1}$