$k$ を正の定数とするとき、以下の双曲線関数の導関数を求めよ。 (1) $\sinh kx$ (2) $\cosh kx$ (3) $\tanh kx$

1. 問題の内容

$k$ を正の定数とするとき、以下の双曲線関数の導関数を求めよ。

(1) $\sinh kx$

(2) $\cosh kx$

(3) $\tanh kx$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sinh kx$ の導関数を求める。

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ であるから、$y = \frac{e^{kx} - e^{-kx}}{2}$ となる。

これより、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^{kx} - e^{-kx}}{2} \right) = \frac{1}{2} (ke^{kx} + ke^{-kx}) = k \frac{e^{kx} + e^{-kx}}{2} = k \cosh kx$

(2) $y = \cosh kx$ の導関数を求める。

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ であるから、$y = \frac{e^{kx} + e^{-kx}}{2}$ となる。

これより、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^{kx} + e^{-kx}}{2} \right) = \frac{1}{2} (ke^{kx} - ke^{-kx}) = k \frac{e^{kx} - e^{-kx}}{2} = k \sinh kx$

(3) $y = \tanh kx$ の導関数を求める。

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ であるから、$y = \frac{\sinh kx}{\cosh kx} = \frac{e^{kx} - e^{-kx}}{e^{kx} + e^{-kx}}$ となる。

$\tanh kx = \frac{\sinh kx}{\cosh kx}$ と見て、商の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sinh kx}{\cosh kx} \right) = \frac{(\sinh kx)' \cosh kx - \sinh kx (\cosh kx)'}{(\cosh kx)^2}$

$= \frac{k \cosh kx \cosh kx - \sinh kx (k \sinh kx)}{(\cosh kx)^2} = \frac{k (\cosh^2 kx - \sinh^2 kx)}{\cosh^2 kx} = \frac{k}{\cosh^2 kx} = k \operatorname{sech}^2 kx$

あるいは、$y = \frac{e^{kx} - e^{-kx}}{e^{kx} + e^{-kx}}$ と見て微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(ke^{kx} + ke^{-kx})(e^{kx} + e^{-kx}) - (e^{kx} - e^{-kx})(ke^{kx} - ke^{-kx})}{(e^{kx} + e^{-kx})^2}$

$= \frac{k(e^{2kx} + 2 + e^{-2kx}) - k(e^{2kx} - 2 + e^{-2kx})}{(e^{kx} + e^{-kx})^2} = \frac{4k}{(e^{kx} + e^{-kx})^2} = \frac{4k}{4 \cosh^2 kx} = \frac{k}{\cosh^2 kx} = k \operatorname{sech}^2 kx$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx} (\sinh kx) = k \cosh kx$

(2) $\frac{d}{dx} (\cosh kx) = k \sinh kx$

(3) $\frac{d}{dx} (\tanh kx) = k \operatorname{sech}^2 kx$