次の不定積分を計算します。 $\int \frac{\tan x}{2 + \cos x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{\tan x}{2 + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を用いて積分を書き換えます。

$\int \frac{\tan x}{2 + \cos x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x (2 + \cos x)} dx$

ここで、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ より、$\sin x dx = -du$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sin x}{\cos x (2 + \cos x)} dx = \int \frac{-1}{u (2 + u)} du = -\int \frac{1}{u (2 + u)} du$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{u (2 + u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{2 + u}$

$1 = A (2 + u) + B u$

$u = 0$ を代入すると、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$u = -2$ を代入すると、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{u (2 + u)} = \frac{1}{2u} - \frac{1}{2(2 + u)}$

積分は次のようになります。

$-\int \frac{1}{u (2 + u)} du = -\int (\frac{1}{2u} - \frac{1}{2(2 + u)}) du$

$= -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 + u} du$

$= -\frac{1}{2} \ln |u| + \frac{1}{2} \ln |2 + u| + C$

$= \frac{1}{2} (\ln |2 + u| - \ln |u|) + C$

$= \frac{1}{2} \ln |\frac{2 + u}{u}| + C$

ここで、$u = \cos x$ を代入すると、

$\frac{1}{2} \ln |\frac{2 + \cos x}{\cos x}| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{2 + \cos x}{\cos x} \right| + C$

または

$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{2}{\cos x} + 1 \right| + C$