$x$ の関数 $y$ が媒介変数 $t$ を用いて $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ と表されるとき、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す。解析学導関数媒介変数微分三角関数2025/7/301. 問題の内容xxx の関数 yyy が媒介変数 ttt を用いて x=t−sintx = t - \sin tx=t−sint, y=1−costy = 1 - \cos ty=1−cost と表されるとき、導関数 dydx\frac{dy}{dx}dxdy を ttt の関数として表す。2. 解き方の手順まず、xxx と yyy をそれぞれ ttt で微分します。dxdt=ddt(t−sint)=1−cost\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - \sin t) = 1 - \cos tdtdx=dtd(t−sint)=1−costdydt=ddt(1−cost)=sint\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin tdtdy=dtd(1−cost)=sint次に、dydx\frac{dy}{dx}dxdy を dy/dtdx/dt\frac{dy/dt}{dx/dt}dx/dtdy/dt として計算します。dydx=dy/dtdx/dt=sint1−cost\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}dxdy=dx/dtdy/dt=1−costsintここで、半角の公式を用いて簡略化します。sint=2sin(t2)cos(t2)\sin t = 2 \sin(\frac{t}{2})\cos(\frac{t}{2})sint=2sin(2t)cos(2t)1−cost=2sin2(t2)1 - \cos t = 2 \sin^2(\frac{t}{2})1−cost=2sin2(2t)したがって、dydx=2sin(t2)cos(t2)2sin2(t2)=cos(t2)sin(t2)=cot(t2)\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin(\frac{t}{2})\cos(\frac{t}{2})}{2 \sin^2(\frac{t}{2})} = \frac{\cos(\frac{t}{2})}{\sin(\frac{t}{2})} = \cot(\frac{t}{2})dxdy=2sin2(2t)2sin(2t)cos(2t)=sin(2t)cos(2t)=cot(2t)3. 最終的な答えdydx=cot(t2)\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{t}{2})dxdy=cot(2t)