$x$ の関数 $y$ が媒介変数 $t$ を用いて $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ と表されるとき、導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す。

解析学導関数媒介変数微分三角関数
2025/7/30

1. 問題の内容

xx の関数 yy が媒介変数 tt を用いて x=tsintx = t - \sin t, y=1costy = 1 - \cos t と表されるとき、導関数 dydx\frac{dy}{dx}tt の関数として表す。

2. 解き方の手順

まず、xxyy をそれぞれ tt で微分します。
dxdt=ddt(tsint)=1cost\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - \sin t) = 1 - \cos t
dydt=ddt(1cost)=sint\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t
次に、dydx\frac{dy}{dx}dy/dtdx/dt\frac{dy/dt}{dx/dt} として計算します。
dydx=dy/dtdx/dt=sint1cost\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}
ここで、半角の公式を用いて簡略化します。
sint=2sin(t2)cos(t2)\sin t = 2 \sin(\frac{t}{2})\cos(\frac{t}{2})
1cost=2sin2(t2)1 - \cos t = 2 \sin^2(\frac{t}{2})
したがって、
dydx=2sin(t2)cos(t2)2sin2(t2)=cos(t2)sin(t2)=cot(t2)\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin(\frac{t}{2})\cos(\frac{t}{2})}{2 \sin^2(\frac{t}{2})} = \frac{\cos(\frac{t}{2})}{\sin(\frac{t}{2})} = \cot(\frac{t}{2})

3. 最終的な答え

dydx=cot(t2)\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{t}{2})

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