与えられた式 $y^3 = x$ において、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $y$ を用いて表す。ただし、$y \neq 0$とする。

1. 問題の内容

与えられた式 $y^3 = x$ において、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $y$ を用いて表す。ただし、$y \neq 0$とする。

2. 解き方の手順

ステップ1: 与えられた式 $y^3 = x$ を $x$ について微分し、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

$3y^2 \frac{dy}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2}$

ステップ2: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2}$ を $x$ について微分し、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3y^2} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3} y^{-2} \right)$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3} (-2) y^{-3} \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3} y^{-3} \frac{dy}{dx}$

ステップ3: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2}$ を $\frac{d^2y}{dx^2}$ の式に代入する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2}{3} y^{-3} \left( \frac{1}{3y^2} \right) = -\frac{2}{9} y^{-5} = -\frac{2}{9y^5}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2}{9y^5}$