関数 $f(x) = xe^{-x^2}$ （$-1 \le x \le 1$）について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $f(x)$ の極値を求めます。 (2) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-x^2}$ （$-1 \le x \le 1$）について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $f(x)$ の極値を求めます。

(2) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の極値を求める

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

$f(x) = xe^{-x^2}$ なので、積の微分法を用いると、

$f'(x) = (1)e^{-x^2} + x(-2x)e^{-x^2} = e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2} = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$e^{-x^2} > 0$ なので、$1 - 2x^2 = 0$ を解きます。

$1 - 2x^2 = 0$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

次に、$f'(x)$ の符号の変化を調べます。

$x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$1 - 2x^2 < 0$ なので、$f'(x) < 0$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$1 - 2x^2 > 0$ なので、$f'(x) > 0$

$x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$1 - 2x^2 < 0$ なので、$f'(x) < 0$

したがって、$x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ で極小、$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ で極大となります。

極小値 $f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})e^{-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}$

極大値 $f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})e^{-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}$

(2) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求める

$f''(x)$ を求めます。

$f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$ なので、積の微分法を用いると、

$f''(x) = (-4x)e^{-x^2} + (1 - 2x^2)(-2x)e^{-x^2} = -4xe^{-x^2} - 2x(1 - 2x^2)e^{-x^2} = -4xe^{-x^2} - 2xe^{-x^2} + 4x^3e^{-x^2} = (-6x + 4x^3)e^{-x^2} = 2x(2x^2 - 3)e^{-x^2}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$e^{-x^2} > 0$ なので、$2x(2x^2 - 3) = 0$ を解きます。

$x = 0$ または $2x^2 - 3 = 0$

$x = 0$ または $x^2 = \frac{3}{2}$

$x = 0$ または $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

ここで、$-1 \le x \le 1$ であるため、$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ は定義域外です。

よって、$x = 0$ のみが候補となります。

次に、$f''(x)$ の符号の変化を調べます。

$x < 0$ のとき、$2x^2 - 3 < 0$ なので、$f''(x) > 0$

$x > 0$ のとき、$2x^2 - 3 < 0$ なので、$f''(x) < 0$

したがって、$x = 0$ で変曲点を持ちます。

変曲点の $y$ 座標は $f(0) = 0 \cdot e^{-0^2} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 極小値：$x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}$

極大値：$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき $f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}}$

(2) 変曲点：$(0, 0)$