すべての自然数 $n$ に対して、不等式 $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}} > \sqrt{2n+1} - 1$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

すべての自然数 $n$ に対して、不等式

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}} > \sqrt{2n+1} - 1$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき:

左辺は $\frac{1}{\sqrt{1}} = 1$

右辺は $\sqrt{2(1)+1} - 1 = \sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$

よって、$1 > \sqrt{3} - 1$ となり、$n=1$ のとき不等式は成り立つ。

(2) $n=k$ のとき不等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2k-1}} > \sqrt{2k+1} - 1$

が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき不等式が成り立つことを示す。すなわち、

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2k-1}} + \frac{1}{\sqrt{2(k+1)-1}} > \sqrt{2(k+1)+1} - 1$

を示す。

仮定より、

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2k-1}} > \sqrt{2k+1} - 1$

両辺に $\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$ を加えると、

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2k-1}} + \frac{1}{\sqrt{2k+1}} > \sqrt{2k+1} - 1 + \frac{1}{\sqrt{2k+1}}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2k-1}} + \frac{1}{\sqrt{2k+1}} > \frac{2k+1- \sqrt{2k+1} + 1}{\sqrt{2k+1}} = \frac{2k+2 - \sqrt{2k+1}}{\sqrt{2k+1}}$

$\sqrt{2k+3} - 1$ と比較したいので、

$\sqrt{2k+1} - 1 + \frac{1}{\sqrt{2k+1}} > \sqrt{2k+3} - 1$

を示したい。

$\sqrt{2k+1} + \frac{1}{\sqrt{2k+1}} > \sqrt{2k+3}$

両辺を2乗すると、

$(2k+1) + 2 + \frac{1}{2k+1} > 2k+3$

$2k+3 + \frac{1}{2k+1} > 2k+3$

$\frac{1}{2k+1} > 0$

これは常に成り立つので、$n=k+1$ のときも不等式は成り立つ。

(1)(2)(3)より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ に対して不等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}} > \sqrt{2n+1} - 1$

が成り立つ。