(1) 不定積分 $\int \frac{dx}{x^3+8}$ を求める。 (2) 不定積分 $\int \frac{dx}{x^4-1}$ を求める。

解析学不定積分部分分数分解積分計算
2025/7/30

1. 問題の内容

(1) 不定積分 dxx3+8\int \frac{dx}{x^3+8} を求める。
(2) 不定積分 dxx41\int \frac{dx}{x^4-1} を求める。

2. 解き方の手順

(1) dxx3+8\int \frac{dx}{x^3+8}
まず、x3+8x^3 + 8 を因数分解する。
x3+8=(x+2)(x22x+4)x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)
次に、1x3+8=Ax+2+Bx+Cx22x+4\frac{1}{x^3+8} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2-2x+4} と部分分数分解する。
両辺に x3+8x^3+8 を掛けると
1=A(x22x+4)+(Bx+C)(x+2)1 = A(x^2 - 2x + 4) + (Bx+C)(x+2)
1=Ax22Ax+4A+Bx2+2Bx+Cx+2C1 = Ax^2 - 2Ax + 4A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C
1=(A+B)x2+(2A+2B+C)x+(4A+2C)1 = (A+B)x^2 + (-2A+2B+C)x + (4A+2C)
係数を比較して、
A+B=0A+B = 0
2A+2B+C=0-2A+2B+C = 0
4A+2C=14A+2C = 1
B=AB = -A
2A2A+C=0    C=4A-2A - 2A + C = 0 \implies C = 4A
4A+2(4A)=1    12A=1    A=1124A + 2(4A) = 1 \implies 12A = 1 \implies A = \frac{1}{12}
B=112,C=412=13B = -\frac{1}{12}, C = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
1x3+8=1/12x+2+(1/12)x+1/3x22x+4\frac{1}{x^3+8} = \frac{1/12}{x+2} + \frac{(-1/12)x + 1/3}{x^2-2x+4}
dxx3+8=1/12x+2dx+(1/12)x+1/3x22x+4dx\int \frac{dx}{x^3+8} = \int \frac{1/12}{x+2} dx + \int \frac{(-1/12)x + 1/3}{x^2-2x+4} dx
=1121x+2dx+(1/12)x+1/3x22x+4dx= \frac{1}{12} \int \frac{1}{x+2} dx + \int \frac{(-1/12)x + 1/3}{x^2-2x+4} dx
=112lnx+2+(1/12)x+1/3x22x+4dx= \frac{1}{12} \ln |x+2| + \int \frac{(-1/12)x + 1/3}{x^2-2x+4} dx
ここで、(1/12)x+1/3x22x+4dx\int \frac{(-1/12)x + 1/3}{x^2-2x+4} dx を計算する。
x22x+4=(x1)2+3x^2-2x+4 = (x-1)^2 + 3
(1/12)x+1/3x22x+4dx=1242x4x22x+4dx+1121x22x+4dx\int \frac{(-1/12)x + 1/3}{x^2-2x+4} dx = -\frac{1}{24} \int \frac{2x-4}{x^2-2x+4} dx + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x^2-2x+4} dx
=124lnx22x+4+1121(x1)2+3dx= -\frac{1}{24} \ln|x^2-2x+4| + \frac{1}{12} \int \frac{1}{(x-1)^2+3} dx
=124lnx22x+4+11213arctanx13+C= -\frac{1}{24} \ln|x^2-2x+4| + \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan{\frac{x-1}{\sqrt{3}}} + C
=124lnx22x+4+336arctanx13+C= -\frac{1}{24} \ln|x^2-2x+4| + \frac{\sqrt{3}}{36} \arctan{\frac{x-1}{\sqrt{3}}} + C
したがって、
dxx3+8=112lnx+2124lnx22x+4+336arctanx13+C\int \frac{dx}{x^3+8} = \frac{1}{12} \ln |x+2| -\frac{1}{24} \ln|x^2-2x+4| + \frac{\sqrt{3}}{36} \arctan{\frac{x-1}{\sqrt{3}}} + C
(2) dxx41\int \frac{dx}{x^4-1}
x41=(x21)(x2+1)=(x1)(x+1)(x2+1)x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)
1x41=Ax1+Bx+1+Cx+Dx2+1\frac{1}{x^4-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+1}
1=A(x+1)(x2+1)+B(x1)(x2+1)+(Cx+D)(x1)(x+1)1 = A(x+1)(x^2+1) + B(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)(x+1)
1=A(x3+x2+x+1)+B(x3x2+x1)+(Cx+D)(x21)1 = A(x^3+x^2+x+1) + B(x^3-x^2+x-1) + (Cx+D)(x^2-1)
1=Ax3+Ax2+Ax+A+Bx3Bx2+BxB+Cx3Cx+Dx2D1 = Ax^3+Ax^2+Ax+A + Bx^3-Bx^2+Bx-B + Cx^3-Cx+Dx^2-D
1=(A+B+C)x3+(AB+D)x2+(A+BC)x+(ABD)1 = (A+B+C)x^3 + (A-B+D)x^2 + (A+B-C)x + (A-B-D)
A+B+C=0A+B+C = 0
AB+D=0A-B+D = 0
A+BC=0A+B-C = 0
ABD=1A-B-D = 1
2C=0    C=02C = 0 \implies C=0
A+B=0    B=AA+B = 0 \implies B = -A
A+A+D=0    D=2AA+A+D = 0 \implies D = -2A
A+A+2A=1    4A=1    A=14A+A+2A = 1 \implies 4A = 1 \implies A = \frac{1}{4}
B=14,C=0,D=12B = -\frac{1}{4}, C = 0, D = -\frac{1}{2}
dxx41=1/4x1dx+1/4x+1dx+1/2x2+1dx\int \frac{dx}{x^4-1} = \int \frac{1/4}{x-1} dx + \int \frac{-1/4}{x+1} dx + \int \frac{-1/2}{x^2+1} dx
=14lnx114lnx+112arctanx+C= \frac{1}{4} \ln|x-1| - \frac{1}{4} \ln|x+1| - \frac{1}{2} \arctan{x} + C
=14lnx1x+112arctanx+C= \frac{1}{4} \ln|\frac{x-1}{x+1}| - \frac{1}{2} \arctan{x} + C

3. 最終的な答え

(1) dxx3+8=112lnx+2124lnx22x+4+336arctanx13+C\int \frac{dx}{x^3+8} = \frac{1}{12} \ln |x+2| -\frac{1}{24} \ln|x^2-2x+4| + \frac{\sqrt{3}}{36} \arctan{\frac{x-1}{\sqrt{3}}} + C
(2) dxx41=14lnx1x+112arctanx+C\int \frac{dx}{x^4-1} = \frac{1}{4} \ln|\frac{x-1}{x+1}| - \frac{1}{2} \arctan{x} + C

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