与えられた9個の関数をそれぞれ微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた9個の関数をそれぞれ微分せよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{3x+2}$ の微分

$y' = -\frac{3}{(3x+2)^2}$

(2) $y = \frac{5x+4}{x^2+3}$ の微分

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

$u = 5x+4$, $v = x^2+3$ とすると、

$u' = 5$, $v' = 2x$

$y' = \frac{5(x^2+3) - (5x+4)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{5x^2+15 - 10x^2 - 8x}{(x^2+3)^2} = \frac{-5x^2-8x+15}{(x^2+3)^2}$

(3) $y = \sqrt[3]{1+x^2}$ の微分

$y = (1+x^2)^{\frac{1}{3}}$

$y' = \frac{1}{3}(1+x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2x = \frac{2x}{3(1+x^2)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(1+x^2)^2}}$

(4) $y = \frac{1}{5\sqrt{2x+1}}$ の微分

$y = \frac{1}{5}(2x+1)^{-\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{2}) (2x+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 = -\frac{1}{5(2x+1)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{5\sqrt{(2x+1)^3}}$

(5) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ の微分

$y' = \frac{\sqrt{x^2+1} - x \cdot \frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x}{x^2+1} = \frac{\sqrt{x^2+1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

(6) $y = \frac{\cos x}{2x-1}$ の微分

$y' = \frac{-\sin x (2x-1) - \cos x \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{-(2x-1)\sin x - 2\cos x}{(2x-1)^2}$

(7) $y = \log(x^3+1)$ の微分

$y' = \frac{3x^2}{x^3+1}$

(8) $y = e^x \sin 3x$ の微分

積の微分公式を用いる。

$y' = e^x \sin 3x + e^x \cdot 3\cos 3x = e^x (\sin 3x + 3\cos 3x)$

(9) $y = \tan x \tan^{-1} x$ の微分

$y' = \frac{1}{\cos^2 x} \tan^{-1} x + \tan x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{\tan^{-1} x}{\cos^2 x} + \frac{\tan x}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{3}{(3x+2)^2}$

(2) $y' = \frac{-5x^2-8x+15}{(x^2+3)^2}$

(3) $y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(1+x^2)^2}}$

(4) $y' = -\frac{1}{5\sqrt{(2x+1)^3}}$

(5) $y' = \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}$

(6) $y' = \frac{-(2x-1)\sin x - 2\cos x}{(2x-1)^2}$

(7) $y' = \frac{3x^2}{x^3+1}$

(8) $y' = e^x (\sin 3x + 3\cos 3x)$

(9) $y' = \frac{\tan^{-1} x}{\cos^2 x} + \frac{\tan x}{1+x^2}$