与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の6つの関数を微分します。 (1) $\frac{e^x}{1 + x^2}$ (2) $\log(e^{x^2} + e^{x^3})$ (3) $e^{-3x} \sin 3x$ (4) $\tan^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$ (5) $(\tan x)^{\log x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の6つの関数を微分します。

(1) $\frac{e^x}{1 + x^2}$

(2) $\log(e^{x^2} + e^{x^3})$

(3) $e^{-3x} \sin 3x$

(4) $\tan^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$

(5) $(\tan x)^{\log x}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{e^x}{1 + x^2}$ の微分

商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = e^x$, $v = 1 + x^2$ とすると、$u' = e^x$, $v' = 2x$ となります。

したがって、

$$\left( \frac{e^x}{1 + x^2} \right)' = \frac{e^x (1 + x^2) - e^x (2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{e^x (1 + x^2 - 2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{e^x (x^2 - 2x + 1)}{(1 + x^2)^2} = \frac{e^x (x - 1)^2}{(1 + x^2)^2}$$

(2) $\log(e^{x^2} + e^{x^3})$ の微分

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$ を用います。

$f(x) = \log x$, $g(x) = e^{x^2} + e^{x^3}$ とすると、$f'(x) = \frac{1}{x}$, $g'(x) = 2xe^{x^2} + 3x^2 e^{x^3}$ となります。

したがって、

$$\left( \log(e^{x^2} + e^{x^3}) \right)' = \frac{1}{e^{x^2} + e^{x^3}} (2xe^{x^2} + 3x^2 e^{x^3}) = \frac{2xe^{x^2} + 3x^2 e^{x^3}}{e^{x^2} + e^{x^3}}$$

(3) $e^{-3x} \sin 3x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = e^{-3x}$, $v = \sin 3x$ とすると、$u' = -3e^{-3x}$, $v' = 3\cos 3x$ となります。

したがって、

$$(e^{-3x} \sin 3x)' = -3e^{-3x} \sin 3x + e^{-3x} (3\cos 3x) = 3e^{-3x} (\cos 3x - \sin 3x)$$

(4) $\tan^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$ の微分

合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$ を用います。

$f(x) = \tan^{-1} x$, $g(x) = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$ とすると、$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$, $g'(x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ となります。

したがって、

$$\left( \tan^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)' = \frac{1}{1 + \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)^2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{1 + \frac{(2x+1)^2}{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{3 + (4x^2 + 4x + 1)} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3} (4x^2 + 4x + 4)} = \frac{3}{2\sqrt{3} (x^2 + x + 1)} = \frac{\sqrt{3}}{2 (x^2 + x + 1)}$$

(5) $(\tan x)^{\log x}$ の微分

両辺の対数をとってから微分します。

$y = (\tan x)^{\log x}$ とすると、$\log y = (\log x) \log(\tan x)$ となります。

両辺を微分すると、

$$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} \log(\tan x) + (\log x) \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\log(\tan x)}{x} + \frac{\log x}{\sin x \cos x}$$

したがって、

$$y' = (\tan x)^{\log x} \left( \frac{\log(\tan x)}{x} + \frac{\log x}{\sin x \cos x} \right)$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{e^x (x - 1)^2}{(1 + x^2)^2}$

(2) $\frac{2xe^{x^2} + 3x^2 e^{x^3}}{e^{x^2} + e^{x^3}}$

(3) $3e^{-3x} (\cos 3x - \sin 3x)$

(4) $\frac{\sqrt{3}}{2 (x^2 + x + 1)}$

(5) $(\tan x)^{\log x} \left( \frac{\log(\tan x)}{x} + \frac{\log x}{\sin x \cos x} \right)$