半径1の球の体積が $\frac{4}{3}\pi$ で与えられることを、2重積分と3重積分を用いてそれぞれ証明する。ただし、半径1の球面は $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ を満たす点の集合で与えられる。

1. 問題の内容

半径1の球の体積が $\frac{4}{3}\pi$ で与えられることを、2重積分と3重積分を用いてそれぞれ証明する。ただし、半径1の球面は $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ を満たす点の集合で与えられる。

2. 解き方の手順

(1) 2重積分を用いた証明

まず、球を $z$ 軸方向にスライスして、各スライスの面積を求め、それを積分することで体積を求める。$x^2 + y^2 + z^2 = 1$ より、$z = \pm \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ となる。したがって、$z$ 座標の範囲は $-\sqrt{1 - x^2 - y^2} \le z \le \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ である。

$xy$ 平面への射影は円 $x^2 + y^2 \le 1$ となる。したがって、球の体積 $V$ は次のように2重積分で表される。

$V = \iint_{x^2 + y^2 \le 1} \left( \sqrt{1 - x^2 - y^2} - (-\sqrt{1 - x^2 - y^2}) \right) dx dy = 2 \iint_{x^2 + y^2 \le 1} \sqrt{1 - x^2 - y^2} dx dy$

ここで、極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を用いると、$dx dy = r dr d\theta$ となり、$x^2 + y^2 = r^2$ であるから、

$V = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sqrt{1 - r^2} r dr d\theta$

$u = 1 - r^2$ と置換すると、$du = -2r dr$ より、$r dr = -\frac{1}{2} du$ となる。積分範囲は $r = 0$ のとき $u = 1$, $r = 1$ のとき $u = 0$ となるので、

$V = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{0} \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sqrt{u} du d\theta$

$V = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{2}{3} d\theta = \frac{2}{3} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{2}{3} (2\pi) = \frac{4}{3}\pi$

(2) 3重積分を用いた証明

球の体積 $V$ は次のように3重積分で表される。

$V = \iiint_{x^2 + y^2 + z^2 \le 1} dx dy dz$

ここで、球座標変換 $x = r \sin \phi \cos \theta$, $y = r \sin \phi \sin \theta$, $z = r \cos \phi$ を用いると、$dx dy dz = r^2 \sin \phi dr d\theta d\phi$ となり、積分範囲は $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$, $0 \le \phi \le \pi$ となる。

$V = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^2 \sin \phi dr d\theta d\phi$

$V = \int_{0}^{\pi} \sin \phi d\phi \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^2 dr = \left[ -\cos \phi \right]_{0}^{\pi} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} \left[ \frac{1}{3}r^3 \right]_{0}^{1}$

$V = (-\cos \pi + \cos 0) (2\pi - 0) \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = (1 + 1) (2\pi) \left( \frac{1}{3} \right) = 2 \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\pi$

3. 最終的な答え

半径1の球の体積は $\frac{4}{3}\pi$ である。