$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = \sin x$ を繰り返し微分し、規則性を見つけます。

* $y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$

* $y'' = -\sin x = \sin(x + 2 \cdot \frac{\pi}{2})$

* $y''' = -\cos x = \sin(x + 3 \cdot \frac{\pi}{2})$

* $y^{(4)} = \sin x = \sin(x + 4 \cdot \frac{\pi}{2})$

一般的に、

$y^{(n)} = \sin(x + n \cdot \frac{\pi}{2})$

と推測できます。

選択肢の中からこれに合致するものを選びます。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

したがって、答えは2番です。