関数 $y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{-x}$ の導関数をいくつか計算してみます。

$y' = -e^{-x}$

$y'' = (-1)^2 e^{-x} = e^{-x}$

$y''' = (-1)^3 e^{-x} = -e^{-x}$

$y'''' = (-1)^4 e^{-x} = e^{-x}$

一般的に、$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$ と推測できます。

$n=1$ のとき、$y^{(1)} = -e^{-x} = (-1)^1 e^{-x}$

$n=2$ のとき、$y^{(2)} = e^{-x} = (-1)^2 e^{-x}$

$n=3$ のとき、$y^{(3)} = -e^{-x} = (-1)^3 e^{-x}$

$n=4$ のとき、$y^{(4)} = e^{-x} = (-1)^4 e^{-x}$

したがって、$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$ となります。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$

選択肢4が正しいです。