次の2つの二重積分を、極座標に変換して求めよ。 (1) $\iint_D (x-y) dS$, $D = \{(x, y) | x \ge 0, y \ge 0, x^2 + y^2 \le 4\}$ (2) $\iint_D \frac{x}{x^2+y^2} dS$, $D = \{(x, y) | x \ge 0, y \ge 0, 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$

1. 問題の内容

次の2つの二重積分を、極座標に変換して求めよ。

(1) $\iint_D (x-y) dS$, $D = \{(x, y) | x \ge 0, y \ge 0, x^2 + y^2 \le 4\}$

(2) $\iint_D \frac{x}{x^2+y^2} dS$, $D = \{(x, y) | x \ge 0, y \ge 0, 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$

2. 解き方の手順

(1) $\iint_D (x-y) dS$, $D = \{(x, y) | x \ge 0, y \ge 0, x^2 + y^2 \le 4\}$

極座標変換を行う。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dS = r dr d\theta$.

$D$は、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x^2 + y^2 \le 4$を満たす領域なので、極座標では $0 \le r \le 2$, $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$となる。

$\iint_D (x-y) dS = \int_0^{\pi/2} \int_0^2 (r\cos\theta - r\sin\theta) r dr d\theta = \int_0^{\pi/2} \int_0^2 r^2(\cos\theta - \sin\theta) dr d\theta$

まず、$r$ で積分する。

$\int_0^2 r^2 dr = \frac{1}{3}r^3 \Big|_0^2 = \frac{8}{3}$

次に、$\theta$ で積分する。

$\int_0^{\pi/2} (\cos\theta - \sin\theta) d\theta = [\sin\theta + \cos\theta]_0^{\pi/2} = (1 + 0) - (0 + 1) = 0$

したがって、

$\iint_D (x-y) dS = \frac{8}{3} \times 0 = 0$

(2) $\iint_D \frac{x}{x^2+y^2} dS$, $D = \{(x, y) | x \ge 0, y \ge 0, 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$

極座標変換を行う。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dS = r dr d\theta$.

$D$は、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $1 \le x^2 + y^2 \le 4$を満たす領域なので、極座標では $1 \le r \le 2$, $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$となる。

$\iint_D \frac{x}{x^2+y^2} dS = \int_0^{\pi/2} \int_1^2 \frac{r\cos\theta}{r^2} r dr d\theta = \int_0^{\pi/2} \int_1^2 \cos\theta dr d\theta$

まず、$r$ で積分する。

$\int_1^2 dr = r \Big|_1^2 = 2 - 1 = 1$

次に、$\theta$ で積分する。

$\int_0^{\pi/2} \cos\theta d\theta = [\sin\theta]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$

したがって、

$\iint_D \frac{x}{x^2+y^2} dS = 1 \times 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 1