$M$ を定数とする。3変数関数 $f(x, y, z) = \frac{e^{Mr}}{r}$ （ただし $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$）に対して、 $I(x, y, z) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} - M^2 f$ を計算する。

1. 問題の内容

$M$ を定数とする。3変数関数 $f(x, y, z) = \frac{e^{Mr}}{r}$ （ただし $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$）に対して、

$I(x, y, z) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} - M^2 f$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$r$ の $x, y, z$ に関する偏微分を計算する。

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}, \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}, \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}$

次に、$f(x, y, z)$ の $x, y, z$ に関する1階偏微分を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{M e^{Mr}}{r} \frac{\partial r}{\partial x} - \frac{e^{Mr}}{r^2} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{e^{Mr}}{r} (M - \frac{1}{r}) \frac{x}{r}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{e^{Mr}}{r} (M - \frac{1}{r}) \frac{y}{r}$

$\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{e^{Mr}}{r} (M - \frac{1}{r}) \frac{z}{r}$

次に、$f(x, y, z)$ の $x, y, z$ に関する2階偏微分を計算する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{e^{Mr}}{r} (M - \frac{1}{r}) \frac{x}{r} \right)$

$= \frac{e^{Mr}}{r} (M-\frac{1}{r}) \frac{1}{r} + \frac{x}{r} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{e^{Mr}}{r} (M-\frac{1}{r}) \right)$

$= \frac{e^{Mr}}{r^2} (M-\frac{1}{r}) + \frac{x}{r} \left( \frac{Me^{Mr}}{r} (M-\frac{1}{r}) \frac{x}{r} + \frac{e^{Mr}}{r} (\frac{1}{r^2}) \frac{x}{r} \right)$

$= \frac{e^{Mr}}{r^2} (M-\frac{1}{r}) + \frac{e^{Mr} x^2}{r^4} (M^2 - \frac{M}{r} + \frac{1}{r^2})$

同様に

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{e^{Mr}}{r^2} (M-\frac{1}{r}) + \frac{e^{Mr} y^2}{r^4} (M^2 - \frac{M}{r} + \frac{1}{r^2})$

$\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{e^{Mr}}{r^2} (M-\frac{1}{r}) + \frac{e^{Mr} z^2}{r^4} (M^2 - \frac{M}{r} + \frac{1}{r^2})$

したがって

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{3e^{Mr}}{r^2} (M-\frac{1}{r}) + \frac{e^{Mr}}{r^4} (x^2+y^2+z^2) (M^2 - \frac{M}{r} + \frac{1}{r^2})$

$= \frac{3e^{Mr}}{r^2} (M-\frac{1}{r}) + \frac{e^{Mr}}{r^2} (M^2 - \frac{M}{r} + \frac{1}{r^2})$

$= \frac{e^{Mr}}{r^2} (3M - \frac{3}{r} + M^2 - \frac{M}{r} + \frac{1}{r^2})$

$= \frac{e^{Mr}}{r^2} (M^2 + 2M/r)$

$I(x, y, z) = \frac{e^{Mr}}{r^2} (M^2 + 2M/r) - M^2 \frac{e^{Mr}}{r} = \frac{e^{Mr}}{r} (M^2 / r + 2M /r^2 - M^2)$

しかし、ラプラシアンを極座標で計算すると、

$\Delta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 \frac{\partial f}{\partial r})$

$= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 \frac{\partial}{\partial r} \frac{e^{Mr}}{r})$

$= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 \frac{Me^{Mr}r - e^{Mr}}{r^2})$

$= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (Me^{Mr} - \frac{e^{Mr}}{r})$

$= \frac{1}{r^2} (M^2 e^{Mr} + \frac{e^{Mr}}{r^2} + \frac{Me^{Mr}}{r})$

$= \frac{e^{Mr}}{r^2} (M^2 + \frac{M}{r}) + \frac{e^{Mr}}{r^4}$

$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = M^2 f$

$I(x, y, z) = \Delta f - M^2 f = 0$

3. 最終的な答え

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