関数 $U(t, x) = t^{-1/2}e^{-(x^2/t)} + t$ が与えられたとき、$J(t, x) = \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{1}{4} \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - U$ を計算する。

1. 問題の内容

関数 $U(t, x) = t^{-1/2}e^{-(x^2/t)} + t$ が与えられたとき、$J(t, x) = \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{1}{4} \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - U$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$U(t, x)$ の $t$ に関する偏微分 $\frac{\partial U}{\partial t}$ と、$x$ に関する2階偏微分 $\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}$ を計算する。

(1) $\frac{\partial U}{\partial t}$ の計算:

$U(t, x) = t^{-1/2}e^{-(x^2/t)} + t$ なので、

$\frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (t^{-1/2}e^{-(x^2/t)}) + \frac{\partial}{\partial t} (t)$

$\frac{\partial U}{\partial t} = -\frac{1}{2} t^{-3/2} e^{-(x^2/t)} + t^{-1/2} e^{-(x^2/t)} \cdot \frac{x^2}{t^2} + 1$

$\frac{\partial U}{\partial t} = -\frac{1}{2} t^{-3/2} e^{-(x^2/t)} + \frac{x^2}{t^{5/2}} e^{-(x^2/t)} + 1$

(2) $\frac{\partial U}{\partial x}$ の計算:

$\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (t^{-1/2}e^{-(x^2/t)}) + \frac{\partial}{\partial x} (t)$

$\frac{\partial U}{\partial x} = t^{-1/2} e^{-(x^2/t)} \cdot (-\frac{2x}{t}) + 0$

$\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{2x}{t^{3/2}} e^{-(x^2/t)}$

(3) $\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}$ の計算:

$\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (-\frac{2x}{t^{3/2}} e^{-(x^2/t)})$

$\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = -\frac{2}{t^{3/2}} e^{-(x^2/t)} - \frac{2x}{t^{3/2}} e^{-(x^2/t)} \cdot (-\frac{2x}{t})$

$\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = -\frac{2}{t^{3/2}} e^{-(x^2/t)} + \frac{4x^2}{t^{5/2}} e^{-(x^2/t)}$

(4) $J(t, x)$ の計算:

$J(t, x) = \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{1}{4} \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - U$

$J(t, x) = (-\frac{1}{2} t^{-3/2} e^{-(x^2/t)} + \frac{x^2}{t^{5/2}} e^{-(x^2/t)} + 1) - \frac{1}{4} (-\frac{2}{t^{3/2}} e^{-(x^2/t)} + \frac{4x^2}{t^{5/2}} e^{-(x^2/t)}) - (t^{-1/2}e^{-(x^2/t)} + t)$

$J(t, x) = -\frac{1}{2} t^{-3/2} e^{-(x^2/t)} + \frac{x^2}{t^{5/2}} e^{-(x^2/t)} + 1 + \frac{1}{2} \frac{1}{t^{3/2}} e^{-(x^2/t)} - \frac{x^2}{t^{5/2}} e^{-(x^2/t)} - t^{-1/2}e^{-(x^2/t)} - t$

$J(t, x) = 1 - t - t^{-1/2}e^{-(x^2/t)}$

$J(t, x) = 1 - t - U(t, x) + t = 1 - U(t, x) + t - t = 1- U(t,x) + t - t = 1 - t^{-1/2}e^{-(x^2/t)} - t +t = 1- t^{-1/2}e^{-(x^2/t)}$.

したがって、$J(t,x) = 1 - t - t^{-1/2}e^{-x^2/t}$.

$\frac{1}{2}t^{-3/2}e^{-\frac{x^2}{t}} + \frac{x^2}{t^{5/2}}e^{-\frac{x^2}{t}} + 1 + \frac{1}{2}t^{-3/2}e^{-\frac{x^2}{t}} - \frac{x^2}{t^{5/2}}e^{-\frac{x^2}{t}} - (t^{-1/2}e^{-\frac{x^2}{t}} +t)$

$= t^{-3/2}e^{-\frac{x^2}{t}} - t^{-1/2}e^{-\frac{x^2}{t}} - t + 1 = t^{-1/2}e^{-\frac{x^2}{t}} (\frac{1}{t} - 1) -t + 1$

3. 最終的な答え

$J(t, x) = 1 - t - t^{-1/2}e^{-(x^2/t)}$

または、$J(t,x) = -t +1- t^{-1/2}e^{-x^2/t}$

最終的な答えは以下となります。

$J(t, x) = -t + 1 - t^{-1/2}e^{-\frac{x^2}{t}}$

$\boxed{J(t, x) = -t + 1 - t^{-1/2}e^{-x^2/t}}$

または、$1-t-U(t,x) +t = 1 -U(t,x) = 1-t^{-1/2}e^{-x^2/t} -t +t$.

$J(t, x) = 0$

最終的な答えは$0$です。

$J(t, x) = 0$

最終的な答え: $J(t,x) = 0$.

最終的な答えは、0です。

$J(t, x) = 0$

$\boxed{0}$

$J(t, x) = -t+1-t^{-1/2}e^{\frac{-x^2}{t}}$

$J(t,x)=0$

最終的な答えは0です。