関数 $z = (1 - x^2 - y^2)^2$ のグラフの点 $(1, -1, 1)$ における接平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $z = (1 - x^2 - y^2)^2$ のグラフの点 $(1, -1, 1)$ における接平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $z = f(x, y) = (1 - x^2 - y^2)^2$ の偏導関数を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2(1 - x^2 - y^2)(-2x) = -4x(1 - x^2 - y^2)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2(1 - x^2 - y^2)(-2y) = -4y(1 - x^2 - y^2)$

次に、点 $(1, -1)$ における偏導関数の値を計算する。

$\frac{\partial z}{\partial x}(1, -1) = -4(1)(1 - 1^2 - (-1)^2) = -4(1)(1 - 1 - 1) = -4(1)(-1) = 4$

$\frac{\partial z}{\partial y}(1, -1) = -4(-1)(1 - 1^2 - (-1)^2) = 4(1 - 1 - 1) = 4(-1) = -4$

接平面の方程式は、次の式で与えられる。

$z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで $(x_0, y_0, z_0) = (1, -1, 1)$ であるから、接平面の方程式は

$z - 1 = 4(x - 1) - 4(y - (-1))$

$z - 1 = 4(x - 1) - 4(y + 1)$

$z - 1 = 4x - 4 - 4y - 4$

$z = 4x - 4y - 7$

3. 最終的な答え

接平面の方程式は $z = 4x - 4y - 7$ である。

または、

$4x - 4y - z - 7 = 0$