$R^2$ 上の関数 $V(x,y) = x^2y(1-x^2-y^2)$ について、勾配ベクトル $grad(V)(x,y)$ と $V$ の停留点を求める。

1. 問題の内容

$R^2$ 上の関数 $V(x,y) = x^2y(1-x^2-y^2)$ について、勾配ベクトル $grad(V)(x,y)$ と $V$ の停留点を求める。

2. 解き方の手順

(1) 勾配ベクトル $grad(V)(x,y)$ を計算する。これは $V$ の $x$ と $y$ に関する偏微分からなるベクトルである。

$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2y - x^4y - x^2y^3) = 2xy - 4x^3y - 2xy^3 = 2xy(1-2x^2-y^2)$

$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2y - x^4y - x^2y^3) = x^2 - x^4 - 3x^2y^2 = x^2(1-x^2-3y^2)$

よって、勾配ベクトルは

$grad(V)(x,y) = (\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}) = (2xy(1-2x^2-y^2), x^2(1-x^2-3y^2))$

(2) 停留点を求める。停留点とは、勾配ベクトルがゼロになる点である。つまり、以下の連立方程式を解く。

$2xy(1-2x^2-y^2) = 0$

$x^2(1-x^2-3y^2) = 0$

まず、2番目の式 $x^2(1-x^2-3y^2) = 0$ より、$x=0$ または $1-x^2-3y^2 = 0$ である。

(i) $x = 0$ の場合：

1番目の式は $2xy(1-2x^2-y^2) = 0$ となり、$x=0$ なので常に成り立つ。よって、停留点は $(0, y)$ となる。

(ii) $1-x^2-3y^2 = 0$ の場合：

1番目の式 $2xy(1-2x^2-y^2) = 0$ より、$x = 0$, $y = 0$, または $1-2x^2-y^2 = 0$。$x=0$ は (i) で既に考慮したので、$y=0$ または $1-2x^2-y^2 = 0$を考える。

(ii-a) $y = 0$ の場合：

$1-x^2-3y^2 = 0$ に $y=0$ を代入すると $1-x^2 = 0$ より、$x = \pm 1$。よって、停留点は $(\pm 1, 0)$ となる。

(ii-b) $1-2x^2-y^2 = 0$ の場合：

$1-x^2-3y^2 = 0$ と $1-2x^2-y^2 = 0$ の連立方程式を解く。

$1-x^2-3y^2 = 0$ より、$x^2 = 1-3y^2$

$1-2x^2-y^2 = 0$ に代入すると、$1-2(1-3y^2)-y^2 = 0$

$1-2+6y^2-y^2 = 0$

$5y^2 = 1$

$y^2 = \frac{1}{5}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$x^2 = 1-3y^2 = 1 - 3(\frac{1}{5}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

よって、停留点は $(\pm \sqrt{\frac{2}{5}}, \pm \frac{1}{\sqrt{5}})$ となる。

3. 最終的な答え

勾配ベクトル: $grad(V)(x,y) = (2xy(1-2x^2-y^2), x^2(1-x^2-3y^2))$

停留点:

$(0, y)$

$(\pm 1, 0)$

$(\pm \sqrt{\frac{2}{5}}, \pm \frac{1}{\sqrt{5}})$