与えられた関数の導関数を計算し、それが与えられた式と一致することを示す問題です。 (1) $(\log |x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$ (ただし、$A \ne 0$) (2) $(\frac{1}{2a} \log |\frac{x - a}{x + a}|)' = \frac{1}{x^2 - a^2}$ (ただし、$a \ne 0$) (3) $\{\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})\}' = \sqrt{a^2 - x^2}$ (ただし、$a > 0$) (4) $\{\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)\}' = \sqrt{x^2 + A}$ (ただし、$A \ne 0$)

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を計算し、それが与えられた式と一致することを示す問題です。

(1) $(\log |x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$ (ただし、$A \ne 0$)

(2) $(\frac{1}{2a} \log |\frac{x - a}{x + a}|)' = \frac{1}{x^2 - a^2}$ (ただし、$a \ne 0$)

(3) $\{\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})\}' = \sqrt{a^2 - x^2}$ (ただし、$a > 0$)

(4) $\{\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)\}' = \sqrt{x^2 + A}$ (ただし、$A \ne 0$)

2. 解き方の手順

(1)

$y = \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$ を微分します。合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot 2x)$

$= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}})$

$= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (\frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}})$

$= \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$

(2)

$y = \frac{1}{2a} \log |\frac{x - a}{x + a}|$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2a} \cdot \frac{1}{\frac{x - a}{x + a}} \cdot \frac{(x + a) - (x - a)}{(x + a)^2}$

$= \frac{1}{2a} \cdot \frac{x + a}{x - a} \cdot \frac{2a}{(x + a)^2}$

$= \frac{1}{(x - a)(x + a)} = \frac{1}{x^2 - a^2}$

(3)

$y = \frac{1}{2}(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\sqrt{a^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot (-2x) + a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a})$

$= \frac{1}{2}(\sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a^2}{a\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}})$

$= \frac{1}{2}(\sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}})$

$= \frac{1}{2}(\sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}})$

$= \frac{1}{2}(\frac{a^2 - x^2 - x^2 + a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}})$

$= \frac{1}{2}(\frac{2(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2 - x^2}})$

$= \sqrt{a^2 - x^2}$

(4)

$y = \frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\sqrt{x^2 + A} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot 2x + A \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot 2x))$

$= \frac{1}{2}(\sqrt{x^2 + A} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + A}} + A \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}}))$

$= \frac{1}{2}(\sqrt{x^2 + A} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + A}} + A \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + A}}{\sqrt{x^2 + A}})$

$= \frac{1}{2}(\sqrt{x^2 + A} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + A}} + \frac{A}{\sqrt{x^2 + A}})$

$= \frac{1}{2}(\frac{x^2 + A + x^2 + A}{\sqrt{x^2 + A}})$

$= \frac{1}{2}(\frac{2(x^2 + A)}{\sqrt{x^2 + A}}) = \sqrt{x^2 + A}$

3. 最終的な答え

(1) $(\log |x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$

(2) $(\frac{1}{2a} \log |\frac{x - a}{x + a}|)' = \frac{1}{x^2 - a^2}$

(3) $\{\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a})\}' = \sqrt{a^2 - x^2}$

(4) $\{\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 + A} + A \log |x + \sqrt{x^2 + A}|)\}' = \sqrt{x^2 + A}$