関数 $y = x^x$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^x$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = x^x$ の微分を求めるには、両辺の自然対数を取ってから微分します。

ステップ1: 両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^x) = x \ln x$

ステップ2: 両辺を $x$ で微分します。左辺は $y$ の関数なので、合成関数の微分法を使います。

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$

$\frac{d}{dx} (x \ln x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

ステップ3: $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1)$

ステップ4: $y = x^x$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$