与えられた微分方程式 $xy'' + y' = 2e^x(1+x)$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $xy'' + y' = 2e^x(1+x)$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式は $x y'' + y' = 2e^x(1+x)$ です。

この式を $x$ で割ると、

$$y'' + \frac{1}{x} y' = \frac{2e^x(1+x)}{x}$$

となります。

ここで、$z = y'$ とおくと、$z' = y''$ となるため、上記の式は

$$z' + \frac{1}{x} z = \frac{2e^x(1+x)}{x}$$

となります。

これは、1階線形微分方程式なので、積分因子を求めます。積分因子 $\mu(x)$ は、

$$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$$

となります。

この積分因子を方程式の両辺に掛けると、

$$xz' + z = 2e^x(1+x)$$

となります。

左辺は $(xz)'$ となるため、

$$(xz)' = 2e^x(1+x)$$

両辺を $x$ で積分すると、

$$xz = \int 2e^x(1+x) dx$$

$$\int 2e^x(1+x) dx = 2 \int e^x dx + 2 \int xe^x dx = 2e^x + 2(xe^x - \int e^x dx) = 2e^x + 2xe^x - 2e^x + C_1 = 2xe^x + C_1$$

したがって、

$$xz = 2xe^x + C_1$$

$$z = 2e^x + \frac{C_1}{x}$$

$z = y'$ なので、

$$y' = 2e^x + \frac{C_1}{x}$$

両辺を $x$ で積分すると、

$$y = \int (2e^x + \frac{C_1}{x}) dx = 2 \int e^x dx + C_1 \int \frac{1}{x} dx = 2e^x + C_1 \ln |x| + C_2$$

3. 最終的な答え

$y = 2e^x + C_1 \ln |x| + C_2$