与えられた問題は、次の定積分を計算することです。 $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の定積分を計算することです。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \, dx$

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、部分積分法を使用します。部分積分法は、$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ という公式で表されます。

まず、$u$ と $dv$ を選びます。

$u = x$ と $dv = e^{-2x} \, dx$ とします。

次に、$du$ と $v$ を計算します。

$du = dx$

$v = \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}$

部分積分の公式に代入します。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \, dx = \left[ x \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) \, dx$

$= \left[ -\frac{x}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \, dx$

$\lim_{x \to \infty} -\frac{x}{2e^{2x}} = 0$ （ロピタルの定理を使用）

$-\frac{0}{2} e^{-2(0)} = 0$

したがって、$\left[ -\frac{x}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{\infty} = 0 - 0 = 0$

次に、$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \, dx$ を計算します。

$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \, dx = \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{\infty} = \lim_{x \to \infty} \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) - \left( -\frac{1}{2} e^{-2(0)} \right)$

$= 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \, dx = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$