定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$ を計算します。

解析学定積分広義積分三角関数不定積分極限
2025/7/29

1. 問題の内容

定積分 0π21sin2xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、1sin2x\frac{1}{\sin^2 x}csc2x\csc^2 x と書けます。csc2x\csc^2 x の不定積分は cotx-\cot x です。したがって、
0π21sin2xdx=0π2csc2xdx=[cotx]0π2=cot(π2)(cot(0))\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 x dx = [-\cot x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cot(\frac{\pi}{2}) - (-\cot(0))
cotx=cosxsinx\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} であることを考慮すると、
cot(π2)=cos(π2)sin(π2)=01=0\cot(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0
cot(0)=cos(0)sin(0)=10\cot(0) = \frac{\cos(0)}{\sin(0)} = \frac{1}{0} これは定義されません。
したがって、積分範囲の x=0x=0 で被積分関数は発散するため、広義積分として考えます。
0π2csc2xdx=lima+0aπ2csc2xdx=lima+0[cotx]aπ2=lima+0[cot(π2)+cot(a)]=lima+0[0+cot(a)]=lima+0cot(a)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 x dx = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 x dx = \lim_{a \to +0} [-\cot x]_{a}^{\frac{\pi}{2}} = \lim_{a \to +0} [-\cot(\frac{\pi}{2}) + \cot(a)] = \lim_{a \to +0} [0 + \cot(a)] = \lim_{a \to +0} \cot(a)
aa が0に近づくとき、cot(a)\cot(a) は無限大に発散します。
lima+0cot(a)=\lim_{a \to +0} \cot(a) = \infty

3. 最終的な答え

積分は発散します。