定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$ を計算します。解析学定積分広義積分三角関数不定積分極限2025/7/291. 問題の内容定積分 ∫0π21sin2xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx∫02πsin2x1dx を計算します。2. 解き方の手順まず、1sin2x\frac{1}{\sin^2 x}sin2x1 は csc2x\csc^2 xcsc2x と書けます。csc2x\csc^2 xcsc2x の不定積分は −cotx-\cot x−cotx です。したがって、∫0π21sin2xdx=∫0π2csc2xdx=[−cotx]0π2=−cot(π2)−(−cot(0))\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 x dx = [-\cot x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cot(\frac{\pi}{2}) - (-\cot(0))∫02πsin2x1dx=∫02πcsc2xdx=[−cotx]02π=−cot(2π)−(−cot(0))cotx=cosxsinx\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}cotx=sinxcosx であることを考慮すると、cot(π2)=cos(π2)sin(π2)=01=0\cot(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0cot(2π)=sin(2π)cos(2π)=10=0cot(0)=cos(0)sin(0)=10\cot(0) = \frac{\cos(0)}{\sin(0)} = \frac{1}{0}cot(0)=sin(0)cos(0)=01 これは定義されません。したがって、積分範囲の x=0x=0x=0 で被積分関数は発散するため、広義積分として考えます。∫0π2csc2xdx=lima→+0∫aπ2csc2xdx=lima→+0[−cotx]aπ2=lima→+0[−cot(π2)+cot(a)]=lima→+0[0+cot(a)]=lima→+0cot(a)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 x dx = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 x dx = \lim_{a \to +0} [-\cot x]_{a}^{\frac{\pi}{2}} = \lim_{a \to +0} [-\cot(\frac{\pi}{2}) + \cot(a)] = \lim_{a \to +0} [0 + \cot(a)] = \lim_{a \to +0} \cot(a)∫02πcsc2xdx=lima→+0∫a2πcsc2xdx=lima→+0[−cotx]a2π=lima→+0[−cot(2π)+cot(a)]=lima→+0[0+cot(a)]=lima→+0cot(a)aaa が0に近づくとき、cot(a)\cot(a)cot(a) は無限大に発散します。lima→+0cot(a)=∞\lim_{a \to +0} \cot(a) = \inftylima→+0cot(a)=∞3. 最終的な答え積分は発散します。