$y = (x \log x - x)^2$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = (x \log x - x)^2$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$を$x$で微分します。合成関数の微分を用いると、

$\frac{dy}{dx} = 2(x \log x - x) \cdot \frac{d}{dx}(x \log x - x)$

となります。次に、$\frac{d}{dx}(x \log x - x)$を計算します。積の微分法を用いると、

$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \log x + x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

したがって、

$\frac{d}{dx}(x \log x - x) = \frac{d}{dx}(x \log x) - \frac{d}{dx}(x) = \log x + 1 - 1 = \log x$

これらを組み合わせると、

$\frac{dy}{dx} = 2(x \log x - x) \cdot \log x = 2x(\log x - 1) \log x = 2x \log x (\log x - 1)$

3. 最終的な答え

$2x \log x (\log x - 1)$