次の不定積分を計算します。積分定数は省略します。 $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx$

## (1) の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。積分定数は省略します。

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母を因数分解します。

$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 2}$

両辺に $(x - 5)(x + 2)$ をかけると、

$1 = A(x + 2) + B(x - 5)$

$x = 5$ のとき、 $1 = 7A$ より $A = \frac{1}{7}$

$x = -2$ のとき、 $1 = -7B$ より $B = -\frac{1}{7}$

したがって、

$\frac{1}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x + 2} \right)$

積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} dx = \frac{1}{7} \int \left( \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x + 2} \right) dx$

$= \frac{1}{7} \left( \int \frac{1}{x - 5} dx - \int \frac{1}{x + 2} dx \right)$

$= \frac{1}{7} (\ln|x - 5| - \ln|x + 2|) + C$

$= \frac{1}{7} \ln \left| \frac{x - 5}{x + 2} \right| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{7} \ln \left| \frac{x - 5}{x + 2} \right| + C$

## (2) の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。積分定数は省略します。

$\int \frac{3x^2 - 5x - 12}{(x + 1)(x^2 - 4x + 5)} dx$

2. 解き方の手順

まず、部分分数分解を行います。

$\frac{3x^2 - 5x - 12}{(x + 1)(x^2 - 4x + 5)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - 4x + 5}$

両辺に $(x + 1)(x^2 - 4x + 5)$ をかけると、

$3x^2 - 5x - 12 = A(x^2 - 4x + 5) + (Bx + C)(x + 1)$

$x = -1$ のとき、$3 + 5 - 12 = A(1 + 4 + 5)$ より $-4 = 10A$ なので $A = -\frac{2}{5}$

$3x^2 - 5x - 12 = -\frac{2}{5}(x^2 - 4x + 5) + (Bx + C)(x + 1)$

$3x^2 - 5x - 12 = -\frac{2}{5}x^2 + \frac{8}{5}x - 2 + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$3x^2 - 5x - 12 = \left( -\frac{2}{5} + B \right)x^2 + \left( \frac{8}{5} + B + C \right)x + (C - 2)$

係数を比較すると、

$3 = -\frac{2}{5} + B$ より $B = 3 + \frac{2}{5} = \frac{17}{5}$

$-5 = \frac{8}{5} + B + C$ より $C = -5 - \frac{8}{5} - \frac{17}{5} = -5 - 5 = -10$

したがって、

$\frac{3x^2 - 5x - 12}{(x + 1)(x^2 - 4x + 5)} = -\frac{2}{5(x + 1)} + \frac{\frac{17}{5}x - 10}{x^2 - 4x + 5} = -\frac{2}{5(x+1)} + \frac{17x-50}{5(x^2-4x+5)}$

積分を計算します。

$\int \frac{3x^2 - 5x - 12}{(x + 1)(x^2 - 4x + 5)} dx = -\frac{2}{5} \int \frac{1}{x + 1} dx + \frac{1}{5} \int \frac{17x - 50}{x^2 - 4x + 5} dx$

第2項の積分について、

$17x - 50 = \frac{17}{2}(2x - 4) - 50 + 34 = \frac{17}{2}(2x - 4) - 16$

$\int \frac{17x - 50}{x^2 - 4x + 5} dx = \frac{17}{2} \int \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5} dx - 16 \int \frac{1}{x^2 - 4x + 5} dx$

$= \frac{17}{2} \ln |x^2 - 4x + 5| - 16 \int \frac{1}{(x - 2)^2 + 1} dx$

$= \frac{17}{2} \ln |x^2 - 4x + 5| - 16 \arctan(x - 2) + C$

したがって、

$\int \frac{3x^2 - 5x - 12}{(x + 1)(x^2 - 4x + 5)} dx = -\frac{2}{5} \ln |x + 1| + \frac{1}{5} \left( \frac{17}{2} \ln |x^2 - 4x + 5| - 16 \arctan(x - 2) \right) + C$

$= -\frac{2}{5} \ln |x + 1| + \frac{17}{10} \ln |x^2 - 4x + 5| - \frac{16}{5} \arctan(x - 2) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{5} \ln |x + 1| + \frac{17}{10} \ln |x^2 - 4x + 5| - \frac{16}{5} \arctan(x - 2) + C$