問題4.1は、広義積分 $\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx$ の値を求め、それが $\alpha < 1$ のとき $\frac{1}{1-\alpha}$ になり、$\alpha \geq 1$ のとき発散することを示す問題です。

1. 問題の内容

問題4.1は、広義積分 $\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx$ の値を求め、それが $\alpha < 1$ のとき $\frac{1}{1-\alpha}$ になり、$\alpha \geq 1$ のとき発散することを示す問題です。

2. 解き方の手順

広義積分を計算します。

$\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 x^{-\alpha} dx$

$\alpha \neq 1$ のとき、

$\int_\epsilon^1 x^{-\alpha} dx = \left[ \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} \right]_\epsilon^1 = \frac{1}{1-\alpha} - \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha}$

$\alpha = 1$ のとき、

$\int_\epsilon^1 \frac{1}{x} dx = \left[ \ln x \right]_\epsilon^1 = \ln 1 - \ln \epsilon = - \ln \epsilon$

$\alpha < 1$ のとき、$1-\alpha > 0$ なので、$\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-\alpha} = 0$。

したがって、$\lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 x^{-\alpha} dx = \frac{1}{1-\alpha}$。

$\alpha > 1$ のとき、$1-\alpha < 0$ なので、$\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-\alpha} = \infty$。

したがって、$\lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 x^{-\alpha} dx = \infty$。

$\alpha = 1$ のとき、$\lim_{\epsilon \to +0} -\ln \epsilon = \infty$。

したがって、$\lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 \frac{1}{x} dx = \infty$。

よって、$\alpha \geq 1$ のとき、広義積分は発散します。

3. 最終的な答え

$\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \begin{cases} \frac{1}{1-\alpha} & (\alpha < 1) \\ \infty & (\alpha \geq 1) \end{cases}$