正の定数 $a$ ($0 < a < 4$) と関数 $f(x) = e^x\{x^2 - (a+4)x + 3a + 4\}$ ($0 \le x \le 4$) について、以下の問いに答える。 (1) $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$, $f(a)$ をそれぞれ $a$ を用いて表す。 (2) $0 < x < 4$ での関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。 (3) $a = 1$ のとき、関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める。 (4) 関数 $f(x)$ が $x = 2$ で極大値かつ最大値をとるような定数 $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ ($0 < a < 4$) と関数 $f(x) = e^x\{x^2 - (a+4)x + 3a + 4\}$ ($0 \le x \le 4$) について、以下の問いに答える。

(1) $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$, $f(a)$ をそれぞれ $a$ を用いて表す。

(2) $0 < x < 4$ での関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

(3) $a = 1$ のとき、関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

(4) 関数 $f(x)$ が $x = 2$ で極大値かつ最大値をとるような定数 $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$, $f(a)$ を計算する。

$f(0) = e^0 \{0^2 - (a+4)0 + 3a + 4\} = 3a + 4$

$f(2) = e^2 \{2^2 - (a+4)2 + 3a + 4\} = e^2 \{4 - 2a - 8 + 3a + 4\} = e^2 a = ae^2$

$f(4) = e^4 \{4^2 - (a+4)4 + 3a + 4\} = e^4 \{16 - 4a - 16 + 3a + 4\} = e^4 (-a + 4) = (4-a)e^4$

$f(a) = e^a \{a^2 - (a+4)a + 3a + 4\} = e^a \{a^2 - a^2 - 4a + 3a + 4\} = e^a \{-a + 4\} = (4-a)e^a$

(2) $f'(x)$ を求める。

$f(x) = e^x\{x^2 - (a+4)x + 3a + 4\}$

$f'(x) = e^x\{x^2 - (a+4)x + 3a + 4\} + e^x\{2x - (a+4)\}$

$f'(x) = e^x\{x^2 - (a+4)x + 3a + 4 + 2x - (a+4)\}$

$f'(x) = e^x\{x^2 - (a+2)x + 2a\}$

(3) $a = 1$ のとき、$f(x) = e^x\{x^2 - 5x + 7\}$

$f'(x) = e^x\{x^2 - 3x + 2\} = e^x(x-1)(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 2$ のとき。

$f(0) = 7$, $f(1) = e\{1 - 5 + 7\} = 3e \approx 3 \times 2.7 = 8.1$, $f(2) = e^2\{4 - 10 + 7\} = e^2 \approx 2.7^2 > 7$, $f(4) = e^4\{16 - 20 + 7\} = 3e^4 \approx 3 \times 2.7^4 \approx 3 \times 53 = 159$

$x=1$ で $f'(x)$ の符号は正から負に変わるので極大。

$x=2$ で $f'(x)$ の符号は負から正に変わるので極小。

最大値は $f(4) = 3e^4$, 最小値は $f(2) = e^2$

(4) $x = 2$ で極大値かつ最大値をとるためには、$f'(2) = 0$ かつ $f''(2) < 0$ でなければならない。

$f'(2) = e^2\{4 - 2(a+2) + 2a\} = e^2\{4 - 2a - 4 + 2a\} = 0$. これは常に成り立つ。

$f''(x) = e^x\{x^2 - (a+2)x + 2a\} + e^x\{2x - (a+2)\}$

$f''(x) = e^x\{x^2 - ax - 2x + 2a + 2x - a - 2\} = e^x\{x^2 - ax + a - 2\}$

$f''(2) = e^2\{4 - 2a + a - 2\} = e^2\{2 - a\} < 0$

$2 - a < 0$ より $a > 2$

また、$0 < a < 4$ より、$2 < a < 4$

さらに、$x=2$ で最大値を取る必要があるので、$f(2) > f(0)$ かつ $f(2) > f(4)$

$ae^2 > 3a + 4$

$ae^2 > (4-a)e^4$

$a(e^2 - 3) > 4$

$a > \frac{4}{e^2 - 3}$

$f(2) > f(4)$ より、$ae^2 > (4-a)e^4$, $a > \frac{4e^4}{e^2 + e^4}$

3. 最終的な答え

(1) $f(0) = 3a + 4$, $f(2) = ae^2$, $f(4) = (4-a)e^4$, $f(a) = (4-a)e^a$

(2) $f'(x) = e^x\{x^2 - (a+2)x + 2a\}$

(3) 最大値: $3e^4$, 最小値: $e^2$

(4) $2 < a < 4$