与えられた関数 $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$ に対して、以下の問題を解く。 (1) 点 $(-2, 3)$ における全微分 $df(-2, 3)$ を求める。 (2) 点 $(-1, 0)$ において関数 $f$ が極値をとるかどうかを調べ、極値をとる場合は極大か極小かを判定し、その値を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$ に対して、以下の問題を解く。

(1) 点 $(-2, 3)$ における全微分 $df(-2, 3)$ を求める。

(2) 点 $(-1, 0)$ において関数 $f$ が極値をとるかどうかを調べ、極値をとる場合は極大か極小かを判定し、その値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 全微分 $df$ は、偏微分を用いて次のように表される。

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

まず、$f(x, y)$ の偏導関数を求める。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y + 2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y - 1$

点 $(-2, 3)$ における偏導関数の値を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(-2, 3) = 2(-2) - 3 + 2 = -4 - 3 + 2 = -5$

$\frac{\partial f}{\partial y}(-2, 3) = -(-2) + 2(3) - 1 = 2 + 6 - 1 = 7$

したがって、点 $(-2, 3)$ における全微分は次のようになる。

$df(-2, 3) = -5dx + 7dy$

(2) 関数 $f$ が点 $(-1, 0)$ で極値をとるかどうかを調べる。まず、偏導関数が0となる点を求める。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y + 2 = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y - 1 = 0$

これらの連立方程式を解く。

$2x - y = -2$

$-x + 2y = 1$

1つ目の式を2倍して、2つ目の式を足すと

$4x - 2y + (-x + 2y) = -4 + 1$

$3x = -3$

$x = -1$

これを2つ目の式に代入すると

$-(-1) + 2y = 1$

$1 + 2y = 1$

$2y = 0$

$y = 0$

したがって、偏導関数が0となる点は $(-1, 0)$ である。

次に、2階偏導関数を計算する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -1$

ヘッセ行列式 $D$ を計算する。

$D = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y})^2 = (2)(2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$

点 $(-1, 0)$ におけるヘッセ行列式の値は $D(-1, 0) = 3 > 0$ であり、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(-1, 0) = 2 > 0$ であるため、点 $(-1, 0)$ で極小値をとる。

極小値を計算する。

$f(-1, 0) = (-1)^2 - (-1)(0) + (0)^2 + 2(-1) - (0) + 7 = 1 - 0 + 0 - 2 - 0 + 7 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $df(-2, 3) = -5dx + 7dy$

(2) 点 $(-1, 0)$ で極小値 6 をとる。