正の定数 $a$ ($0 < a < 4$) と関数 $f(x) = e^x\{x^2 - (a+4)x + 3a + 4\}$ ($0 \le x \le 4$) について、以下の問いに答えます。 (1) $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$, $f(a)$ をそれぞれ定数 $a$ を用いて表します。 (2) $0 < x < 4$ での関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ ($0 < a < 4$) と関数 $f(x) = e^x\{x^2 - (a+4)x + 3a + 4\}$ ($0 \le x \le 4$) について、以下の問いに答えます。

(1) $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$, $f(a)$ をそれぞれ定数 $a$ を用いて表します。

(2) $0 < x < 4$ での関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$, $f(a)$ を計算します。

$f(0) = e^0 \{0^2 - (a+4) \cdot 0 + 3a + 4\} = 1 \cdot (3a + 4) = 3a + 4$

$f(2) = e^2 \{2^2 - (a+4) \cdot 2 + 3a + 4\} = e^2 \{4 - 2a - 8 + 3a + 4\} = e^2 (a)$

$f(4) = e^4 \{4^2 - (a+4) \cdot 4 + 3a + 4\} = e^4 \{16 - 4a - 16 + 3a + 4\} = e^4 (-a + 4)$

$f(a) = e^a \{a^2 - (a+4) \cdot a + 3a + 4\} = e^a \{a^2 - a^2 - 4a + 3a + 4\} = e^a (-a + 4)$

(2) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。積の微分法を用います。

$f(x) = e^x\{x^2 - (a+4)x + 3a + 4\}$

$f'(x) = (e^x)' \{x^2 - (a+4)x + 3a + 4\} + e^x \{x^2 - (a+4)x + 3a + 4\}'$

$f'(x) = e^x \{x^2 - (a+4)x + 3a + 4\} + e^x \{2x - (a+4)\}$

$f'(x) = e^x \{x^2 - (a+4)x + 3a + 4 + 2x - a - 4\}$

$f'(x) = e^x \{x^2 - ax - 4x + 2x + 3a - a\}$

$f'(x) = e^x \{x^2 - (a+2)x + 2a\}$

3. 最終的な答え

(1)

$f(0) = 3a + 4$

$f(2) = ae^2$

$f(4) = e^4(4-a)$

$f(a) = e^a(4-a)$

(2)

$f'(x) = e^x\{x^2 - (a+2)x + 2a\}$