$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \sin^2(3x) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \sin^2(3x) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2(3x)$を半角の公式を使って変形します。

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$を用いると、

$\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2}$となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \sin^2(3x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \frac{1 - \cos(6x)}{2} dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \frac{1 - \cos(6x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (1 - \cos(6x)) dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (1 - \cos(6x)) dx = \left[ x - \frac{1}{6}\sin(6x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{12}}$

上記の積分範囲に代入すると、

$\left[ \frac{\pi}{12} - \frac{1}{6}\sin\left(6 \cdot \frac{\pi}{12}\right) \right] - \left[ 0 - \frac{1}{6}\sin(0) \right]$

$= \frac{\pi}{12} - \frac{1}{6}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 + \frac{1}{6}\sin(0)$

$= \frac{\pi}{12} - \frac{1}{6}(1) - 0 + 0$

$= \frac{\pi}{12} - \frac{1}{6}$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (1 - \cos(6x)) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{12} - \frac{1}{6} \right) = \frac{\pi}{24} - \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{24} - \frac{1}{12}$