与えられた広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ の値を、$\alpha > 1$ の場合と $\alpha \leq 1$ の場合に分けて求め、それぞれ $\frac{1}{\alpha - 1}$ と $\infty$ になることを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた広義積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx$ の値を、$\alpha > 1$ の場合と $\alpha \leq 1$ の場合に分けて求め、それぞれ $\frac{1}{\alpha - 1}$ と $\infty$ になることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、広義積分の定義に従い、積分範囲の上限を $t$ とし、$t \to \infty$ の極限を考えます。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{-\alpha} dx$

次に、$x^{-\alpha}$ の積分を計算します。$\alpha \neq 1$ の場合、

$\int x^{-\alpha} dx = \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} + C = \frac{x^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} + C$

$\alpha = 1$ の場合は、

$\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$

したがって、$\alpha \neq 1$ のとき、

$\int_{1}^{t} x^{-\alpha} dx = \left[ \frac{x^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} \right]_{1}^{t} = \frac{t^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} - \frac{1^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} = \frac{t^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} - \frac{1}{1 - \alpha}$

$\alpha = 1$ のとき、

$\int_{1}^{t} \frac{1}{x} dx = \left[ \log |x| \right]_{1}^{t} = \log t - \log 1 = \log t$

ここで、$t \to \infty$ の極限を考えます。

- $\alpha > 1$ のとき、$1 - \alpha < 0$ なので、$t^{1 - \alpha} \to 0$ ($t \to \infty$)。よって、

$\lim_{t \to \infty} \left( \frac{t^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} - \frac{1}{1 - \alpha} \right) = 0 - \frac{1}{1 - \alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}$

- $\alpha = 1$ のとき、

$\lim_{t \to \infty} \log t = \infty$

- $\alpha < 1$ のとき、$1 - \alpha > 0$ なので、$t^{1 - \alpha} \to \infty$ ($t \to \infty$)。よって、

$\lim_{t \to \infty} \left( \frac{t^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} - \frac{1}{1 - \alpha} \right) = \infty$

したがって、$\alpha \leq 1$ のとき、積分は発散し、$\infty$ となります。

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx = \begin{cases} \frac{1}{\alpha - 1} & (\alpha > 1) \\ \infty & (\alpha \leq 1) \end{cases}$