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与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{x(\log x)^3}$ を積分する問題です。

解析学積分置換積分関数積分
2025/7/31
はい、承知いたしました。積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x)=1x(log⁡x)3f(x) = \frac{1}{x(\log x)^3} を積分する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を用いて解きます。
u=log⁡xu = \log x と置換すると、dudx=1x\frac{du}{dx} = \frac{1}{x} となり、du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx となります。
したがって、積分は以下のようになります。
∫1x(log⁡x)3dx=∫1u3du\int \frac{1}{x(\log x)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} du
これを計算すると、
∫u−3du=u−2−2+C=−12u2+C\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C
ここで、u=log⁡xu = \log x を代入して元に戻すと、
−12(log⁡x)2+C-\frac{1}{2 (\log x)^2} + C

3. 最終的な答え

−12(log⁡x)2+C-\frac{1}{2 (\log x)^2} + C (Cは積分定数)

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