関数 $y = \log \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ （ただし $-1 < x < 1$）を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ （ただし $-1 < x < 1$）を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って関数を簡単にする。

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ と $\log a^b = b \log a$ を使うと、

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y = \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right)

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さらに、$\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$ を使うと、

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y = \frac{1}{2} \left( \log (1-x) - \log (1+x) \right)

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次に、この関数を $x$ で微分する。$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$ と合成関数の微分法を使うと、

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\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{d}{dx} \log (1-x) - \frac{d}{dx} \log (1+x) \right)

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\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-x} \cdot (-1) - \frac{1}{1+x} \cdot (1) \right)

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\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x} \right)

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\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1-x)(1+x)} \right)

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\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-1-x-1+x}{1-x^2} \right)

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\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{-2}{1-x^2} \right)

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\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{1-x^2} = \frac{1}{x^2-1}

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3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2-1}$