定積分 $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、逆三角関数を使って解くことができます。

具体的には、$x = 2\sin\theta$ と変数変換します。このとき、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

また、積分範囲も変わります。

$x=0$ のとき、$0 = 2\sin\theta$ より $\sin\theta = 0$ なので、$\theta = 0$ です。

$x=2$ のとき、$2 = 2\sin\theta$ より $\sin\theta = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{4 - (2\sin\theta)^2}} (2\cos\theta) d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} \frac{2\cos\theta}{\sqrt{4 - 4\sin^2\theta}} d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} \frac{2\cos\theta}{\sqrt{4(1 - \sin^2\theta)}} d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} \frac{2\cos\theta}{2\sqrt{\cos^2\theta}} d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} \frac{2\cos\theta}{2\cos\theta} d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/2} 1 d\theta$

$= [\theta]_{0}^{\pi/2}$

$= \frac{\pi}{2} - 0$

$= \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$