与えられた定積分 $\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、逆三角関数を用いて計算できます。具体的には、以下の公式を利用します。

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$

今回の積分では、$a^2 = 4$ なので、$a = 2$ となります。したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{2}) + C$

定積分の計算を行うと、

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \left[ \arcsin(\frac{x}{2}) \right]_{0}^{2} = \arcsin(\frac{2}{2}) - \arcsin(\frac{0}{2}) = \arcsin(1) - \arcsin(0)$

$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$ であり、 $\arcsin(0) = 0$ であるから、

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$