与えられた関数 $y = \tan^{-1} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan^{-1} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

ステップ1: 半角の公式を利用して、$\cos x$と$\sin x$を書き換えます。

$\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}$

$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

ステップ2: 上記の公式を元の式に代入します。

$y = \tan^{-1} \frac{1 - (1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2})}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$

ステップ3: 式を簡略化します。

$y = \tan^{-1} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$

$y = \tan^{-1} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$

$y = \tan^{-1} \left( \tan \frac{x}{2} \right)$

ステップ4: 逆正接関数と正接関数が互いに打ち消し合い、最終的な式を得ます。

$y = \frac{x}{2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{x}{2}$