関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問題を解きます。 (1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べてください。 (2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求めて、グラフの概形を描いてください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問題を解きます。

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べてください。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求めて、グラフの概形を描いてください。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = xe^{-2x}$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べます。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

積の微分公式を用いると、

$f'(x) = e^{-2x} + x(-2e^{-2x}) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = (1 - 2x)e^{-2x}$

次に、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = -2e^{-2x} - 2e^{-2x} + 4xe^{-2x} = -4e^{-2x} + 4xe^{-2x} = (4x - 4)e^{-2x} = 4(x-1)e^{-2x}$

増減を調べるために、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$f'(x) = (1 - 2x)e^{-2x} = 0$

$e^{-2x}$ は常に正なので、$1 - 2x = 0$ となり、$x = \frac{1}{2}$ が得られます。

$x < \frac{1}{2}$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

$x > \frac{1}{2}$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

したがって、$x = \frac{1}{2}$ で極大値を持ちます。

極大値は $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}e^{-2(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$ です。

凹凸を調べるために、$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$f''(x) = 4(x-1)e^{-2x} = 0$

$e^{-2x}$ は常に正なので、$x - 1 = 0$ となり、$x = 1$ が得られます。

$x < 1$ のとき、$f''(x) < 0$ なので、上に凸です。

$x > 1$ のとき、$f''(x) > 0$ なので、下に凸です。

したがって、$x = 1$ は変曲点であり、変曲点の座標は $(1, f(1)) = (1, e^{-2}) = (1, \frac{1}{e^2})$ です。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求めます。

$\lim_{x \to \infty} xe^{-2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}}$

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2e^{2x}} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} xe^{-2x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{2x}}$

$x \to -\infty$ のとき、$e^{2x} \to 0$ であり、$x \to -\infty$ なので、$\lim_{x \to -\infty} xe^{-2x} = -\infty \cdot \infty = -\infty$ となります。

グラフの概形：

- $x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$

- $x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to -\infty$

- $x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$ をとる。

- $x = 1$ で変曲点 $(1, \frac{1}{e^2})$ をもつ。

3. 最終的な答え

(1) 増減：

$x < \frac{1}{2}$ で増加、$x > \frac{1}{2}$ で減少。

極値：

$x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$ をとる。

凹凸：

$x < 1$ で上に凸、$x > 1$ で下に凸。

変曲点：

$(1, \frac{1}{e^2})$

(2)

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$