次の広義積分が収束することを示す問題です。 (1) $\int_{1}^{\infty} e^{-x} \sin^{3}(\log x) dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x^{2} + \cos x + 2)^{2}}$

1. 問題の内容

次の広義積分が収束することを示す問題です。

(1) $\int_{1}^{\infty} e^{-x} \sin^{3}(\log x) dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x^{2} + \cos x + 2)^{2}}$

2. 解き方の手順

(1)

$|\sin^3(\log x)| \le 1$ であるから、

$$|e^{-x} \sin^{3}(\log x)| \le e^{-x}$$

$\int_{1}^{\infty} e^{-x} dx$ は収束するので、比較定理より、$\int_{1}^{\infty} e^{-x} \sin^{3}(\log x) dx$ も収束します。

実際に、

$$\int_{1}^{\infty} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{1}^{\infty} = 0 - (-e^{-1}) = \frac{1}{e}$$

であるので、収束します。

(2)

任意の $x$ に対して $-1 \le \cos x \le 1$ であるので、

$x^2 + \cos x + 2 \ge x^2 - 1 + 2 = x^2 + 1$

したがって、

$$\frac{1}{(x^2 + \cos x + 2)^2} \le \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$$

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}$ が収束すれば、比較定理より、$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x^{2} + \cos x + 2)^{2}}$ も収束します。

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}$ について、

$x \ge 1$ のとき、

$(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 \ge x^4$ であるので、

$\frac{1}{(x^2 + 1)^2} \le \frac{1}{x^4}$

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx$ は収束するので、$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}$ も収束します。

実際に、

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} dx = [\frac{-1}{3x^3}]_{1}^{\infty} = 0 - (\frac{-1}{3}) = \frac{1}{3}$$

であるので、収束します。

3. 最終的な答え

(1) $\int_{1}^{\infty} e^{-x} \sin^{3}(\log x) dx$ は収束する。

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(x^{2} + \cos x + 2)^{2}}$ は収束する。