以下の9つの問題を解く。 (1) $\log_{10} 8$ の値を求める。必要なら $\log_{10} 2 = 0.3010$ を使う。 (2) 関数 $f(x) = \log x - 1$ ($x > e$) の逆関数 $f^{-1}$ を求め、定義域も明記する。 (3) $\sin (\sin^{-1} \frac{1}{5})$ の値を求める。 (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}$ を求める。 (5) 曲線 $c(t) = \frac{1}{t} \begin{bmatrix} \cos t \\ \sin t \end{bmatrix}$ の $t = \pi$ における接線のパラメータ表示を求める。 (6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ を求める。 (7) 関数 $f(x) = x + \frac{1}{x-2}$ の極値を求める。 (8) ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ とする。点 $(4, 1, -3)$ を通り、ベクトル積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を法線ベクトルとする平面の方程式を求める。 (9) $f(x, y) = \log(1 + x - y)$ とする。$f$ の2次のMaclaurin展開を求める。剰余項は$R$と省略する。

1. 問題の内容

以下の9つの問題を解く。

(1) $\log_{10} 8$ の値を求める。必要なら $\log_{10} 2 = 0.3010$ を使う。

(2) 関数 $f(x) = \log x - 1$ ($x > e$) の逆関数 $f^{-1}$ を求め、定義域も明記する。

(3) $\sin (\sin^{-1} \frac{1}{5})$ の値を求める。

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}$ を求める。

(5) 曲線 $c(t) = \frac{1}{t} \begin{bmatrix} \cos t \\ \sin t \end{bmatrix}$ の $t = \pi$ における接線のパラメータ表示を求める。

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ を求める。

(7) 関数 $f(x) = x + \frac{1}{x-2}$ の極値を求める。

(8) ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ とする。点 $(4, 1, -3)$ を通り、ベクトル積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を法線ベクトルとする平面の方程式を求める。

(9) $f(x, y) = \log(1 + x - y)$ とする。$f$ の2次のMaclaurin展開を求める。剰余項は$R$と省略する。

2. 解き方の手順

(1)

$\log_{10} 8 = \log_{10} 2^3 = 3 \log_{10} 2 = 3 \times 0.3010 = 0.9030$

(2)

$y = \log x - 1$ より、$\log x = y + 1$。

$x = 10^{y+1}$。

よって、$f^{-1}(x) = 10^{x+1}$。

$f(x) = \log x - 1$ の値域は $y > 0$なので、$f^{-1}(x)$ の定義域は $x > 0$。

(3)

$\sin (\sin^{-1} \frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$。

(4)

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x \cos(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2}{\cos(2x)} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$

(5)

$c(t) = \begin{bmatrix} \frac{\cos t}{t} \\ \frac{\sin t}{t} \end{bmatrix}$

$c'(t) = \begin{bmatrix} \frac{-t \sin t - \cos t}{t^2} \\ \frac{t \cos t - \sin t}{t^2} \end{bmatrix}$

$c(\pi) = \begin{bmatrix} \frac{\cos \pi}{\pi} \\ \frac{\sin \pi}{\pi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\pi} \\ 0 \end{bmatrix}$

$c'(\pi) = \begin{bmatrix} \frac{-\pi \sin \pi - \cos \pi}{\pi^2} \\ \frac{\pi \cos \pi - \sin \pi}{\pi^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi^2} \\ -\frac{1}{\pi} \end{bmatrix}$

接線の方程式は、

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = c(\pi) + c'(\pi) s = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\pi} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi^2} \\ -\frac{1}{\pi} \end{bmatrix} s = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\pi} + \frac{s}{\pi^2} \\ -\frac{s}{\pi} \end{bmatrix}$

(6)

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots}{x^3} = -\frac{1}{6}$

(7)

$f(x) = x + \frac{1}{x-2}$

$f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-2)^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$1 - \frac{1}{(x-2)^2} = 0$

$(x-2)^2 = 1$

$x-2 = \pm 1$

$x = 3, 1$

$f''(x) = \frac{2}{(x-2)^3}$

$f''(3) = \frac{2}{(3-2)^3} = 2 > 0$ より、$x=3$ で極小値をとる。

$f''(1) = \frac{2}{(1-2)^3} = -2 < 0$ より、$x=1$ で極大値をとる。

$f(3) = 3 + \frac{1}{3-2} = 4$

$f(1) = 1 + \frac{1}{1-2} = 0$

よって、$x=3$ で極小値4、 $x=1$ で極大値0をとる。

(8)

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(0) - (1)(2) \\ (1)(3) - (2)(0) \\ (2)(2) - (-1)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}$

平面の方程式は $-2(x-4) + 3(y-1) + 7(z+3) = 0$

$-2x + 8 + 3y - 3 + 7z + 21 = 0$

$-2x + 3y + 7z + 26 = 0$

(9)

$f(x, y) = \log(1 + x - y)$

$f(0, 0) = \log(1) = 0$

$f_x(x, y) = \frac{1}{1 + x - y}$

$f_y(x, y) = -\frac{1}{1 + x - y}$

$f_x(0, 0) = 1$

$f_y(0, 0) = -1$

$f_{xx}(x, y) = -\frac{1}{(1 + x - y)^2}$

$f_{yy}(x, y) = -\frac{1}{(1 + x - y)^2}$

$f_{xy}(x, y) = \frac{1}{(1 + x - y)^2}$

$f_{xx}(0, 0) = -1$

$f_{yy}(0, 0) = -1$

$f_{xy}(0, 0) = 1$

$f(x, y) = f(0, 0) + f_x(0, 0) x + f_y(0, 0) y + \frac{1}{2} [f_{xx}(0, 0) x^2 + 2 f_{xy}(0, 0) xy + f_{yy}(0, 0) y^2] + R$

$f(x, y) = 0 + x - y + \frac{1}{2} [-x^2 + 2xy - y^2] + R = x - y - \frac{1}{2} (x - y)^2 + R$

3. 最終的な答え

(1) 0.9030

(2) $f^{-1}(x) = 10^{x+1}$, 定義域 $x > 0$

(3) $\frac{1}{5}$

(4) 2

(5) $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\pi} + \frac{s}{\pi^2} \\ -\frac{s}{\pi} \end{bmatrix}$

(6) $-\frac{1}{6}$

(7) $x=3$ で極小値4、 $x=1$ で極大値0

(8) $-2x + 3y + 7z + 26 = 0$

(9) $f(x, y) = x - y - \frac{1}{2} (x - y)^2 + R$