関数 $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ を微分し、$y'$ を求める問題です。

解析学微分商の微分関数の微分

2025/7/29

1. 問題の内容

関数

y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}

を微分し、

y'

を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。

商の微分公式は、

(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

です。

ここで、

u = x^2 + 1

、

v = x^2 - 1

とすると、

u' = 2x

、

v' = 2x

となります。

したがって、

y' = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1)2x}{(x^2 - 1)^2}

y' = \frac{2x^3 - 2x - (2x^3 + 2x)}{(x^2 - 1)^2}

y' = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2}

y' = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}

3. 最終的な答え

y' = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}

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