問題は、次の2つの関数について、マクローリン展開を$n=3$の項まで書き表すことです。 a) $f(x) = \sin 2x$ b) $f(x) = \log(1+x)$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの関数について、マクローリン展開を$n=3$の項まで書き表すことです。

a) $f(x) = \sin 2x$

b) $f(x) = \log(1+x)$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数$f(x)$を$x=0$の周りでテイラー展開したもので、次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

$n=3$の項まで書き表すということは、3次の項まで求めるということです。

a) $f(x) = \sin 2x$の場合：

まず、$f(x)$の微分を求めます。

$f(x) = \sin 2x$

$f'(x) = 2\cos 2x$

$f''(x) = -4\sin 2x$

$f'''(x) = -8\cos 2x$

次に、$x=0$におけるこれらの値（$f(0), f'(0), f''(0), f'''(0)$）を求めます。

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(0) = 2\cos(0) = 2$

$f''(0) = -4\sin(0) = 0$

$f'''(0) = -8\cos(0) = -8$

これらの値をマクローリン展開の式に代入すると、

$f(x) = 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 + \dots$

$f(x) = 2x - \frac{8}{6}x^3 + \dots$

$f(x) = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \dots$

b) $f(x) = \log(1+x)$の場合：

まず、$f(x)$の微分を求めます。

$f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$f''(x) = -(1+x)^{-2}$

$f'''(x) = 2(1+x)^{-3}$

次に、$x=0$におけるこれらの値を求めます。

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(0) = -(1+0)^{-2} = -1$

$f'''(0) = 2(1+0)^{-3} = 2$

これらの値をマクローリン展開の式に代入すると、

$f(x) = 0 + 1x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \dots$

$f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 + \dots$

$f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \dots$

3. 最終的な答え

a) $f(x) = \sin 2x$ のマクローリン展開（$n=3$まで）：

$f(x) = 2x - \frac{4}{3}x^3$

b) $f(x) = \log(1+x)$ のマクローリン展開（$n=3$まで）：

$f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$