与えられた3つの関数 $z$ について、それぞれの偏導関数、つまり $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $z$ について、それぞれの偏導関数、つまり $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数について、偏導関数を求める手順は以下の通りです。

(1) $z = x^2y^5 - 2x^3y^2 + y$

* $\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして、$x$ について偏微分します。

* $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして、$y$ について偏微分します。

(2) $z = x^3 + y^2 + 2$

* $\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして、$x$ について偏微分します。

* $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして、$y$ について偏微分します。

(3) $z = \sin(x^2y)$

* $\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めるには、$y$ を定数とみなして、$x$ について偏微分します。合成関数の微分に注意します。

* $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めるには、$x$ を定数とみなして、$y$ について偏微分します。合成関数の微分に注意します。

それでは、実際に偏微分を計算します。

(1) $z = x^2y^5 - 2x^3y^2 + y$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy^5 - 6x^2y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 5x^2y^4 - 4x^3y + 1$

(2) $z = x^3 + y^2 + 2$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$

(3) $z = \sin(x^2y)$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \cos(x^2y) \cdot 2xy = 2xy\cos(x^2y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \cos(x^2y) \cdot x^2 = x^2\cos(x^2y)$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy^5 - 6x^2y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 5x^2y^4 - 4x^3y + 1$

(2)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$

(3)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy\cos(x^2y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2\cos(x^2y)$