与えられた関数 $cos(x)$, $sin(x)$, $e^{2x}$, $log(1+x)$ の有限マクローリン展開を求める問題です。ただし、$cos(x)$ は $n=2m$ まで、$sin(x)$ は $n=2m+1$ までの展開を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $cos(x)$, $sin(x)$, $e^{2x}$, $log(1+x)$ の有限マクローリン展開を求める問題です。ただし、$cos(x)$ は $n=2m$ まで、$sin(x)$ は $n=2m+1$ までの展開を求めます。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ のまわりでテイラー展開したものです。すなわち、

$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + R_n(x)$

ここで、$f^{(k)}(0)$ は $f(x)$ の $k$ 階微分を $x=0$ で評価した値、$R_n(x)$ は剰余項です。今回は有限マクローリン展開を求めるので、$R_n(x)$ は無視します。

(1) $cos(x)$ の $n=2m$ までのマクローリン展開

$f(x) = cos(x)$ の導関数を求めます。

$f(0) = cos(0) = 1$

$f'(x) = -sin(x) \implies f'(0) = -sin(0) = 0$

$f''(x) = -cos(x) \implies f''(0) = -cos(0) = -1$

$f'''(x) = sin(x) \implies f'''(0) = sin(0) = 0$

$f^{(4)}(x) = cos(x) \implies f^{(4)}(0) = cos(0) = 1$

一般に、$f^{(2k)}(0) = (-1)^k$、$f^{(2k+1)}(0) = 0$ となります。したがって、$n=2m$ までのマクローリン展開は、

$cos(x) \approx \sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + \frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m}$

(2) $sin(x)$ の $n=2m+1$ までのマクローリン展開

$f(x) = sin(x)$ の導関数を求めます。

$f(0) = sin(0) = 0$

$f'(x) = cos(x) \implies f'(0) = cos(0) = 1$

$f''(x) = -sin(x) \implies f''(0) = -sin(0) = 0$

$f'''(x) = -cos(x) \implies f'''(0) = -cos(0) = -1$

$f^{(4)}(x) = sin(x) \implies f^{(4)}(0) = sin(0) = 0$

一般に、$f^{(2k)}(0) = 0$、$f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k$ となります。したがって、$n=2m+1$ までのマクローリン展開は、

$sin(x) \approx \sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1}$

(3) $e^{2x}$ のマクローリン展開

$f(x) = e^{2x}$ の導関数を求めます。

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(x) = 2e^{2x} \implies f'(0) = 2e^0 = 2$

$f''(x) = 4e^{2x} \implies f''(0) = 4e^0 = 4$

$f'''(x) = 8e^{2x} \implies f'''(0) = 8e^0 = 8$

一般に、$f^{(k)}(x) = 2^k e^{2x}$、$f^{(k)}(0) = 2^k$ となります。したがって、

$e^{2x} \approx \sum_{k=0}^{n} \frac{2^k}{k!} x^k = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \cdots + \frac{(2x)^n}{n!}$

(4) $log(1+x)$ のマクローリン展開

$f(x) = log(1+x)$ の導関数を求めます。

$f(0) = log(1+0) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} \implies f'(0) = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} \implies f''(0) = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3} \implies f'''(0) = 2$

$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4} \implies f^{(4)}(0) = -6$

一般に、$f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!}{(1+x)^k}$、$f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1}(k-1)!$ となります。したがって、

$log(1+x) \approx \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{k!} x^k = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$

3. 最終的な答え

(1) $cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + \frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m}$

(2) $sin(x) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1}$

(3) $e^{2x} \approx 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \cdots + \frac{(2x)^n}{n!}$

(4) $log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$