定積分 $\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$u = x-1$ と置換します。このとき、$du = dx$ となります。

積分範囲も変わります。$x=1$ のとき $u = 1-1 = 0$ であり、$x=9$ のとき $u = 9-1 = 8$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} du = \int_{0}^{8} u^{-\frac{1}{3}} du$

次に、この積分を計算します。

$u^{-\frac{1}{3}}$ の原始関数は $\frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}}$ です。したがって、

$\int_{0}^{8} u^{-\frac{1}{3}} du = \left[\frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}}\right]_{0}^{8} = \frac{3}{2}(8^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}(0^{\frac{2}{3}})$

$8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4$ なので、

$\frac{3}{2}(8^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}(0^{\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2}(4) - 0 = 6$

3. 最終的な答え

6