定積分 $\int_{5}^{2} \frac{dx}{\sqrt{5+4x-x^2}}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{5}^{2} \frac{dx}{\sqrt{5+4x-x^2}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、平方完成を用いて根号の中身を変形します。

$5+4x-x^2 = -(x^2 - 4x - 5) = -((x-2)^2 - 4 - 5) = -((x-2)^2 - 9) = 9 - (x-2)^2$.

したがって、

$\int_{5}^{2} \frac{dx}{\sqrt{5+4x-x^2}} = \int_{5}^{2} \frac{dx}{\sqrt{9-(x-2)^2}}$.

ここで、$x-2 = 3\sin\theta$ と置換します。すると、$dx = 3\cos\theta d\theta$ となります。

また、$x=5$ のとき、$3 = 3\sin\theta$ より $\sin\theta = 1$ なので $\theta = \frac{\pi}{2}$。

$x=2$ のとき、$0 = 3\sin\theta$ より $\sin\theta = 0$ なので $\theta = 0$。

したがって、

$\int_{5}^{2} \frac{dx}{\sqrt{9-(x-2)^2}} = \int_{\pi/2}^{0} \frac{3\cos\theta d\theta}{\sqrt{9-9\sin^2\theta}} = \int_{\pi/2}^{0} \frac{3\cos\theta d\theta}{\sqrt{9(1-\sin^2\theta)}} = \int_{\pi/2}^{0} \frac{3\cos\theta d\theta}{3\cos\theta} = \int_{\pi/2}^{0} d\theta = [\theta]_{\pi/2}^{0} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.

3. 最終的な答え

$-\frac{\pi}{2}$