不定積分 $\int \frac{2x+1}{x^2+4x+5} dx$ を計算します。

## 数学の問題の解答

問題の中から、以下の問題を選んで解答します。

(7) $\int \frac{2x+1}{x^2+4x+5} dx$

(8) $\int \frac{3x+1}{x^2+2x-3} dx$

(9) $\int \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx$

(10) $\int \sin^7(x) dx$

### (7) $\int \frac{2x+1}{x^2+4x+5} dx$

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{2x+1}{x^2+4x+5} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

分母を $f(x) = x^2 + 4x + 5$ とすると、$f'(x) = 2x + 4$ です。分子は $2x+1$ なので、$f'(x)$ に近い形に変形します。

$2x + 1 = 2x + 4 - 3$ と変形すると、

$\int \frac{2x+1}{x^2+4x+5} dx = \int \frac{2x+4 - 3}{x^2+4x+5} dx = \int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx - \int \frac{3}{x^2+4x+5} dx$

第一項は $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$ の形なので、

$\int \frac{2x+4}{x^2+4x+5} dx = \ln(x^2+4x+5) + C_1$

第二項は $x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1$ と平方完成できるので、

$\int \frac{3}{x^2+4x+5} dx = 3 \int \frac{1}{(x+2)^2+1} dx = 3 \arctan(x+2) + C_2$

したがって、

$\int \frac{2x+1}{x^2+4x+5} dx = \ln(x^2+4x+5) - 3 \arctan(x+2) + C$

3. 最終的な答え

$\ln(x^2+4x+5) - 3 \arctan(x+2) + C$

### (8) $\int \frac{3x+1}{x^2+2x-3} dx$

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{3x+1}{x^2+2x-3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

分母を因数分解すると $x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$ なので、部分分数分解を行います。

$\frac{3x+1}{(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-1}$

両辺に $(x+3)(x-1)$ をかけると、

$3x+1 = A(x-1) + B(x+3)$

$x=1$ のとき $4 = 4B$ より $B=1$

$x=-3$ のとき $-8 = -4A$ より $A=2$

したがって、

$\frac{3x+1}{x^2+2x-3} = \frac{2}{x+3} + \frac{1}{x-1}$

$\int \frac{3x+1}{x^2+2x-3} dx = \int \left( \frac{2}{x+3} + \frac{1}{x-1} \right) dx = 2\ln|x+3| + \ln|x-1| + C$

3. 最終的な答え

$2\ln|x+3| + \ln|x-1| + C$

### (9) $\int \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx$

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$

両辺に $(x-1)^2(x-2)$ をかけると、

$1 = A(x-1)^2 + B(x-1)(x-2) + C(x-2)$

$x=2$ のとき $1 = A$

$x=1$ のとき $1 = -C$ より $C=-1$

$x=0$ のとき $1 = A + 2B - 2C = 1 + 2B + 2$ より $2B = -2$ なので $B = -1$

したがって、

$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}$

$\int \frac{1}{(x-1)^2(x-2)} dx = \int \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} \right) dx = \ln|x-2| - \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} + C$

3. 最終的な答え

$\ln|x-2| - \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} + C$

### (10) $\int \sin^7(x) dx$

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sin^7(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^7(x) = \sin^6(x) \sin(x) = (\sin^2(x))^3 \sin(x) = (1 - \cos^2(x))^3 \sin(x)$

$t = \cos(x)$ とすると、$dt = -\sin(x) dx$ なので、

$\int \sin^7(x) dx = -\int (1-t^2)^3 dt = -\int (1 - 3t^2 + 3t^4 - t^6) dt = -t + t^3 - \frac{3}{5}t^5 + \frac{1}{7}t^7 + C$

$t = \cos(x)$ を代入すると、

$\int \sin^7(x) dx = -\cos(x) + \cos^3(x) - \frac{3}{5}\cos^5(x) + \frac{1}{7}\cos^7(x) + C$

3. 最終的な答え

$-\cos(x) + \cos^3(x) - \frac{3}{5}\cos^5(x) + \frac{1}{7}\cos^7(x) + C$